[論文レビュー] Fractional Supersymmetry and Lie Algebras

Michel Rausch de Traubenberg|ArXiv.org|Jul 19, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、同次単項式を用いたリー代数の微分的実現を通じて、分数スレーシェンスイミートリ（FSUSY）およびF-リー代数を明示的に実現する手法を提案する。対称テンソル積による基本的生成子の無限次元表現を構築することで、有限次元表現が可約だが分解不能な表現へ埋め込まれることを示し、su(3)を含む任意のリー代数に対してF-リー代数を一貫して構築可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

Supersymmetry and super-Lie algebras have been consistently generalized previously. The so-called fractional supersymmetry and $F-$Lie algebras could be constructed starting from any representation $\D$ of any Lie algebra $g$. This involves taking the $F^{\mathrm th}$ root of $\D$ in some sense. We show, after having constructed differential realization(s) of any Lie algebra, how fractional supersymmetry can be explicitly realized in terms of appropriate homogeneous monomials.

研究の動機と目的

• F-リー代数を用いて、標準的なリー代数および超リー代数の枠組みを超えたスレーシェンスイミートリの一般化を図ること。
• 有限次元の基本的表現を持つが、F乗根表現が無限次元である場合に、分数スレーシェンスイミートリを実現する課題を解決すること。
• 同次単項式によるリー代数の微分的実現を用いて、F-リー代数を体系的に構築する手法を提供すること。
• 特定のリー代数（例：su(3)）に対してこの構成が可能であることを示し、それを任意のリー代数へ一般化すること。
• 有限次元表現を無限次元で可約だが分解不能な表現へ拡張することで、表現構造における分解不能性の問題を解消すること。

提案手法

• F-リー代数を、ε^F = 1 を満たす勾配演算子εを備え、代数にZ_F-次数付き構造を導入するリー代数および超リー代数の一般化として定義する。
• リー代数Bの元を、A_k内の「基本的」生成子のF次対称テンソル積S^F(A_k)として表現する。
• 変数x1, x2, x3における同次単項式へ作用する微分作用素として、リー代数の微分的実現を構築する。
• F個の基本的表現D_{μ(1)/F}の対称積から、縮約された対称積空間S^F_red(D_{μ(1)/F})への射影写像μ_Fを定義し、これにより元の有限次元表現D_{μ(1)}を同定可能とする。
• Vermaモジュールを用いて、有限次元表現D_μのF乗根を実現する無限次元表現D_{μ/F}を構成する。
• リー代数Bの作用下でF括弧のB-不変性およびLeibniz型関係式を満たすようにすることで、等変性およびJacobi恒等式を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のリー代数に対して微分作用素を用いて分数スレーシェンスイミートリを一貫して実現可能か？
• RQ2 有限次元表現のF乗根が無限次元である場合、F-リー代数構造をどのように構築できるか？
• RQ3 微分的実現が、有限次元表現を無限次元で可約だが分解不能な表現へ埋め込む役割を果たす仕組みは何か？
• RQ4 有限次元表現を基本的生成子の対称積に埋め込む標準的アプローチが、なぜF-リー代数構築には不十分なのか？
• RQ5 F-リー代数が一貫して閉じるための拡張表現空間の代数的構造は何か？

主な発見

• 任意のリー代数gおよび任意の有限次元表現D_μに対して、D_μを無限次元で可約だが分解不能な表現S^F_red(D_{μ/F})に拡張することで、F-リー代数の構築が可能である。
• su(3)に対しては、表現D_{μ(1)}がS^F_red(D_{μ(1)/F})に埋め込まれており、これはD_{μ(1)}を真の部分空間として含むより大きな空間であるため、拡張の必要性が確認される。
• 写像μ_F: S^F(D_{μ(1)/F}) → S^F_red(D_{μ(1)/F})は全射であり、これによりD_{μ(1)}が対称積空間内に同定可能である。
• 表現S^F_red(D_{μ(1)/F})は可約だが分解不能である。なぜなら、su(3)に対して安定な補空間が存在しないからである。例えば、E^α(x1(x2/x1)^2) = 2x2 であるが、E^{-α}(x2) = 0 である。
• B = su(3) ⊕ D_{μ(1)}のみでF-リー代数構造を実現することは不可能であり、(su(3) ⊕ S^F_red(D_{μ(1)/F})) ⊕ D_{μ(1)/F}のような拡張代数が必要である。
• 本手法は任意のリー代数gへ一般化可能であり、単項式による微分的実現がF-リー代数を構築する普遍的な枠組みを提供することを示している。