[論文レビュー] Fractional Trigonometric Functions in Complex-valued Space: Applications of Complex Number to Local Fractional Calculus of Complex Function

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素数空間における分数三角関数を導入し、複素数を用いた局所的分数階微積分の枠組みを構築する。分数導関数を通じて、古典的な三角関数の概念をフラクタル領域へと拡張し、非整数次元の集合上での複素関数の解析を可能にする。主な貢献は、複素フラクタル空間における分数正弦関数および余弦関数の定義である。

ABSTRACT

This paper presents the fractional trigonometric functions in complex-valued space and proposes a short outline of local fractional calculus of complex function in fractal spaces.

研究の動機と目的

• フラクタル解析への応用を目的として、複素数空間における三角関数を分数量に拡張すること。
• 非整数次元の集合上における複素関数の局所的分数量微積分の理論的基盤を確立すること。
• 複素数理論を用いて、複素数領域における分数量正弦関数および余弦関数を定義すること。
• 非整数次元空間における分数量三角関数の解析的性質を調査すること。
• フラクタル幾何学における局所的分数量微積分への複素解析の応用を可能にする枠組みを提供すること。

提案手法

• 複素数値のリーマン＝リウヴィル分数量微分を用いて、古典的三角関数を分数量に一般化する。
• ガンマ関数を含むべき乗級数展開を通じて、複素空間における分数量正弦関数および余弦関数を定義する。
• 非整数次元の集合上に定義された複素関数に、局所的分数量微積分の概念を適用する。
• 複素数体を用いて、分数量三角関数の定義域を実数値入力から拡張する。
• 局所的分数量微分に適合した一般化されたコーシー＝リーマン条件を、複素解析に応用する。
• 分数量オイラーの公式を、分数量三角関数を統合する表現として、複素数値フラクタル空間で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的三角関数は、どのように複素数空間における分数量に一般化できるか？
• RQ2 フラクタル領域における分数量正弦関数および余弦関数の解析的性質は何か？
• RQ3 非整数次元の集合上における複素関数の局所的分数量微積分は、どのように振る舞うか？
• RQ4 複素数体は、フラクタル幾何学における分数量三角関数の定義および解析に効果的に利用できるか？
• RQ5 複素数値フラクタル空間における分数量オイラーの公式の形は何か？

主な発見

• 複素数空間における分数量三角関数は、ガンマ関数および分数量微分を含む一般化されたべき級数を介して定義される。
• 分数量オイラーの公式は、古典的恒等式の複素数拡張として導出され、フラクタル領域における分数量三角関数と複素指数関数を結びつける。
• 提案された枠組みにより、非整数次元を持つ集合上に定義された関数に対して、複素解析の技法を適用できるようになった。
• 分数量正弦関数および余弦関数は、複素数値フラクタル空間において、一般化されたピタゴラスの定理を満たす。
• 複素指数関数の局所的分数量微分は、古典的結果に類似した一貫性のある表現を示し、分数量三角関数を含む。
• 本手法により、三角関数および指数関数が複素数値フラクタル幾何に一貫して拡張され、分数量微積分のための新たな解析的ツールが可能になった。