[論文レビュー] Fractional Vector-Valued Littlewood-Paley-Stein Theory for Semigroups

José L. Torrea, Jiawen Zhang|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

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ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間値関数に対する一般化された分数階のリトルウッド＝パイルー $g$-関数、面積関数、$g^*_{\rho}$-関数を定義するために、ポisson半群の分数階微分を導入する。これらの作用素の $L^p$-空間上での有界性が、分数階に依存しない形で、基礎となるバナッハ空間のルジン型 $q$ 性質を特徴づけることが示され、ほとんど確実な有界性とルジン型の関係が明らかにされる。主な副産物として、特異積分のほとんど everywhere の存在性によるUMD空間の特徴づけが得られる。

ABSTRACT

We consider the fractional derivative of a general Poisson semigroup. With this fractional derivative we define the generalized fractional Littlewood-Paley $g$-function for semigroups acting on $L^p$-spaces of functions with values in Banach spaces. We give a characterization of the classes of Banach spaces for which the fractional Litlewood-Paley $g$-function is bounded on $L^p$-spaces. We show that the class of Banach spaces is independent of the order of derivation and coincides with the classical (Lusin type/cotype) case. It is also shown that the same kind of results exist for the case of the fractional area function and the fractional $g^*_λ$-function on $\mathbb{R}^n$. At last, we consider the relationship of the almost sure finiteness of the fractional Littlewood-Paley $g$-function, area function and $g^*_λ$-function with the Lusin cotype property of the underlying Banach space. As a byproduct of the techniques developed, one can get some results of independent interest for vector-valued Calderón--Zygmund operators. For example, one can get the following characterization, a Banach space $\mathbb{B}$ is UMD if and only if for some (or, equivalently, for every) $p\in [1,\infty)$, $\displaystyle \lim_{ε ightarrow 0} \int_{|x-y|> ε} \frac{f(y)}{x-y}dy $ exists extup{a.e.} $x\in \mathbb{R}$ for every $f\in L^p_\mathbb{B}(\mathbb{R}).$

研究の動機と目的

• 古典的リトルウッド＝パイルー理論を、バナッハ空間値関数に作用するポアソン半群の分数階微分へと拡張すること。
• 一般化された分数階 $g$-関数が $L^p$-空間上で有界となるようなバナッハ空間を特徴づけること。
• 分数階平方関数のほとんど確実な有界性と、基礎となるバナッハ空間のルジン型性質との関係を調査すること。
• ベクトル値 $L^p$-空間における特異積分のほとんど everywhere の存在性を通じて、UMD空間の新しい特徴づけを確立すること。

提案手法

• ガンマ関数を用いた積分表現と繰り返し微分を用いて、ポアソン半群の分数階微分を定義する。
• この分数階微分を用いて、一般化された分数階リトルウッド＝パイルー $g$-関数、面積関数、$g^*_{\rho}$-関数を導入する。
• スペクトル理論とカルデロン＝ジグムント分解の技法を用いて、バナッハ空間値をとる $L^p$-空間上でのこれらの作用素の有界性を分析する。
• 最大関数の推定と弱型 $(1,1)$ 界を用いて、作用素のほとんど everywhere の有界性とルジン型性質を関連付ける。
• 滑らかな切り捨て関数を用いた正則化技術により、最大特異積分作用素を制御し、それとハーディー＝ライトの最大関数を関連付ける。
• 既知の双対性および補間結果を活用して、分数階平方関数の有界性が、古典的場合と同一のバナッハ空間のクラスを特徴づけることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのバナッハ空間に対して、分数階リトルウッド＝パイルー $g$-関数が $1 < p < \infty$ の $L^p$-空間上で有界となるか？
• RQ2 分数階 $g$-関数が有界となるバナッハ空間のクラスは、分数階微分の次数に依存するか？
• RQ3 分数階 $g$-関数のほとんど確実な有界性と、基礎となるバナッハ空間のルジン型性質との関係は何か？
• RQ4 特異積分作用素 $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{|x-y| > \varepsilon} \frac{f(y)}{x-y} dy$ のほとんど everywhere の存在性が、ベクトル値設定におけるUMD空間を特徴づけられるか？

主な発見

• 分数階 $g$-関数が $L^p$-空間上で有界となるバナッハ空間のクラスは、分数階 $\alpha$ に依存せず、古典的ルジン型 $q$ クラスと一致する。
• 同様の有界性結果は、$\mathbb{R}^n$ 上での分数階面積関数および分数階 $g^*_{\lambda}$-関数に対しても成り立ち、同一の特徴づけが得られる。
• 分数階 $g$-関数、面積関数、$g^*_{\lambda}$-関数のほとんど確実な有界性は、基礎となるバナッハ空間がルジン型 $q$ を持つことと同値であり、逆も成り立つ。
• バナッハ空間 $\mathbb{B}$ がUMDであることと、ある（またはすべての）$p \in [1,\infty)$ に対して、すべての $f \in L^p_{\mathbb{B}}(\mathbb{R})$ に対して $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{|x-y| > \varepsilon} \frac{f(y)}{x-y} dy$ がほとんど everywhere に存在することは同値である。
• 開発された技法により、ベクトル値設定におけるハーディー変換のほとんど everywhere の存在性を通じたUMD空間の新しい特徴づけが得られる。
• 結果は、ベクトル値カルデロン＝ジグムント作用素へと拡張可能であり、最大特異積分のほとんど everywhere の存在性が弱型 $(1,1)$ 有界性を意味し、したがってUMD性質を示すことが示された。