[論文レビュー] Fractional White-Noise Limit and Paraxial Approximation for Waves in Random Media

Christophe Gomez, Olivier Pinaud|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、長距離相関を持つランダム媒体における高周波数波動伝播のための、パラキシャルおよびホワイトノイズ極限として、分数イトウ＝シュレーディンガー方程式を厳密に導出する。モーメントに基づく解析と、バックスキャッタリングおよびエバネッセントモードの注意深い取り扱いを組み合わせることで、分数ホワイトノイズのフラクチュアーション下での収束を確立し、標準的な拡散近似が失敗する長距離自己相関を持つ媒体への古典的結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

This work is devoted to the asymptotic analysis of high frequency wave propagation in random media with long-range dependence. We are interested in two asymptotic regimes, that we investigate simultaneously: the paraxial approximation, where the wave is collimated and propagates along a privileged direction of propagation, and the white-noise limit, where random fluctuations in the background are well approximated in a statistical sense by a fractional white noise. The fractional nature of the fluctuations is reminiscent of the long-range correlations in the underlying random medium. A typical physical setting is laser beam propagation in turbulent atmosphere. Starting from the high frequency wave equation with fast non-Gaussian random oscillations in the velocity field, we derive the fractional It\\^o-Schr\\"odinger equation, that is a Schr\\"odinger equation with potential equal to a fractional white noise. The proof involves a fine analysis of the backscattering and of the coupling between the propagating and evanescent modes. Because of the long-range dependence, classical diffusion-approximation theorems for equations with random coefficients do not apply, and we therefore use moment techniques to study the convergence.

研究の動機と目的

• 長距離相関を持つランダム媒体における波動伝播のパラキシャル近似を厳密に導出すること。
• 相関が緩やかに減衰する場合に、古典的ホワイトノイズ極限を分数ホワイトノイズに拡張すること。
• 標準的な拡散近似定理が長距離自己相関を持つ設定で破綻することを解明すること。
• 高周波数波動のための、パラキシャル極限とホワイトノイズ極限を統合した1つの漸近的状態に統一すること。
• 持続的相関を示す乱流大気中におけるレーザービーム伝播のモデル化のための数学的に整合性のある枠組みを提供すること。

提案手法

• 高周波数漸近展開を用いて、パラキシャル領域におけるヘルムホルツ方程式をシュレーディンガー型の時間発展方程式に簡略化する。
• マルティングールや古典的拡散近似定理に依存しない、モーメント技術を用いて収束を分析する。
• 長距離自己相関を捉えるために、ランダムなフラクチュエーションを分数ホワイトノイズとしてモデル化する。
• バックスキャッタリングおよび伝搬モードとエバネッセントモードの間の結合を詳細に分析する。
• エネルギー推定とソボレフ埋め込みを用いて、元の解と極限解の差を制御する。
• 初期データの compact 支持性仮定とフーリエ解析を用いて、高周波数極限における一様なバインディングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離相関を持つ媒体において、パラキシャル近似とホワイトノイズ極限を併用した場合、波動伝播の挙動はどのように変化するか？
• RQ2 媒質のフラクチュエーションが長距離自己相関を示す場合、波動伝播の正しい極限方程式は何か？
• RQ3 なぜ古典的イトウ＝シュレーディンガー方程式は長距離相関領域で失敗するのか、そしてどのように一般化できるか？
• RQ4 モーメントに基づく技術は、確率的係数を有する波動方程式の収束解析において、マルティングール手法に代わって使用可能か？
• RQ5 バックスキャッタリングおよびエバネッセントモードの役割は、分数イトウ＝シュレーディンガー方程式への収束にどのように寄与するか？

主な発見

• 極限方程式は、分数ホワイトノイズをポテンシャルとして持つ分数イトウ＝シュレーディンガー方程式であり、媒質内の長距離相関を捉えている。
• 長距離自己相関のため、古典的拡散近似定理は適用できず、モーメント技術に基づく新しい解析的手法が不可欠である。
• バックスキャッタリングおよび伝搬モードとエバネッセントモードの結合は極めて重要であり、収束を保証するためには注意深く分析する必要がある。
• 元の波動方程式の解は、パラキシャル極限とホワイトノイズ極限の両方を同時にとる極限において、$ L^2 $-ノルムで分数イトウ＝シュレーディンガー方程式の解に収束する。
• 一様なバインディング $ \big\backslash\text{sup}_{(t,z)\times\text{R}} \|v(t,z,\cdot)\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} \leq C\alpha_\varepsilon^{1/2} $ が確立され、収束速度が裏付けられた。
• 解析により、分数ホワイトノイズ極限を用いる限り、長距離相関を持つフラクチュエーションが存在してもパラキシャル近似が有効であることが確認された。