[論文レビュー] Framed bicategories and monoidal fibrations

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 41

ひとこと要約

本稿では、1-セルが射ではなく対象（例えば、bimodule や span）を表すbicategoryにおける同型性および同値性の問題を解消する枠組みとして、フレームドbicategoryを導入する。ベースチェンジファンクターをカテゴリカルファイブレーションを用いて記述し、それらを厳密な2-圏に整理することで、同値性、随伴、モノイダル構造といった良好な性質を備えた理論を構築する。これは、環や加群といった例に対して、標準的なbicategoryよりも自然な設定を提供する。

ABSTRACT

In some bicategories, the 1-cells are `morphisms' between the 0-cells, such as functors between categories, but in others they are `objects' over the 0-cells, such as bimodules, spans, distributors, or parametrized spectra. Many bicategorical notions do not work well in these cases, because the `morphisms between 0-cells', such as ring homomorphisms, are missing. We can include them by using a pseudo double category, but usually these morphisms also induce base change functors acting on the 1-cells. We avoid complicated coherence problems by describing base change `nonalgebraically', using categorical fibrations. The resulting `framed bicategories' assemble into 2-categories, with attendant notions of equivalence, adjunction, and so on which are more appropriate for our examples than are the usual bicategorical ones. We then describe two ways to construct framed bicategories. One is an analogue of rings and bimodules which starts from one framed bicategory and builds another. The other starts from a `monoidal fibration', meaning a parametrized family of monoidal categories, and produces an analogue of the framed bicategory of spans. Combining the two, we obtain a construction which includes both enriched and internal categories as special cases.

研究の動機と目的

• 1-セルが射ではなく対象（例：bimodule や span）を表すbicategoryに適用した際、標準的なbicategorical概念（特に同値性および随伴）の不十分さを是正すること。
• このようなbicategoryにおいて、基本的な「同一性」の概念（例：環同型）が、標準的なbicategorical同値性（例：Morita同値）では捉えられないという問題を解消すること。
• カテゴリの上に自然に作用しないbicategoryに対して、同値性、随伴、モノイダル構造といった明確な厳密な2-圏的性質を備えた枠組みを提供すること。
• モノイダルファイブレーションからの構成によって、豊密化された圏と内部圏の取り扱いを統一すること。
• フレームドbicategoryが強力な2-圏理論を適用可能にし、tricategory や弱構造の複雑さを回避できることを示すこと。

提案手法

• 垂直1-セルが0-セル間の写像（例：環準同型）を表し、水平1-セルがbimodule のような対象を表す、追加構造を備えた擬似双層圏（pseudo double category）としてフレームドbicategoryを定義する。
• 代数的でない方法でベースチェンジファンクターを記述するためにカテゴリカルファイブレーションを用い、厳密なbicategorical合成に起因する整合性問題を回避する。
• lax, oplax, およびstrongなフレームドファンクターと変換を用いて、フレームドbicategoryの厳密な2-圏を構成する。
• パラメータ付きのモノイダル圏の族であるモノイダルファイブレーションの概念を導入し、それがスパンのbicategoryに類似したフレームドbicategoryを生成することを示す。
• モノイダルファイブレーションからの構成とフレームドbicategoryの構成を組み合わせることで、豊密化された圏と内部圏を統一した枠組みを得ること。
• フレームドbicategoryがproarrow equipmentの理論を包含・一般化することを確立し、任意のbicategoryに対してその随伴から自然にフレームドbicategoryが得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1-セルが対象（例：bimodule）を表すbicategoryにおいて、標準的なbicategorical同値性（例：Morita同値）ではなく、0-セル（例：環同型）の同型を捉える同値性の定義はどのように可能か？
• RQ2 1-セルが射ではなく対象（例：環とbimoduleのbicategory）を表す場合、どのようにして良好な随伴の概念を定義できるか？
• RQ3 通常のbicategoryが弱い構造を持つにもかかわらず、同値性や随伴といった標準的な2-圏的性質を備えたフレームドbicategoryの2-圏をどのように構成できるか？
• RQ4 モノイダルファイブレーションから得られるフレームドbicategoryは、どのようにしてスパンのbicategoryを一般化し、豊密化された圏と内部圏を統一するか？
• RQ5 このようなbicategorical設定において、ベースチェンジファンクターを記述するためにファイブレーションを用いる方が、代数的整合性条件よりも効果的である理由は何か？

主な発見

• フレームドbicategoryは厳密な2-圏をなしており、標準的な2-圏理論（同値性、随伴など）が、通常のbicategoryでは失敗する状況でも適用可能である。
• モノイダルファイブレーションからフレームドbicategoryを構成することで、スパンのbicategoryを一般化した構造が得られ、豊密化された圏と内部圏が特別な場合として統一的に扱える。
• フレームドbicategoryは、Mod（環とbimodule）のようなbicategoryにおいて、標準的なbicategorical同値性がMorita同値に一致するのに対し、より根本的な環同型が捉えられないという問題を解消する。
• フレームドbicategoryの理論はproarrow equipmentの理論を包含・一般化しており、任意のbicategoryの随伴のbicategoryから自然にフレームドbicategoryが得られる。
• ファイブレーションを用いてベースチェンジを記述することで、弱い構造に起因する整合性問題を回避でき、bicategoryが本質的に弱い場合でも厳密な2-圏的手法を適用可能にする。
• 本稿では、多くのbicategorical文献（例：モジュールの計算）において、Cauchy完備性が仮定されていなくても、暗黙的にフレームドbicategoryが使われていることが示されている。