[論文レビュー] Frames and Bases in Tensor Product of Hilbert Spaces

Amir Khosravi, Mohammad Sadegh Asgari|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 11被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間のテンソル積におけるフレームと基底の理論的枠組みを確立し、H₁, H₂, ..., Hₙ のヒルバート空間におけるフレーム Y₁, Y₂, ..., Yₙ が与えられたとき、それらのテンソル積 Y₁⊗Y₂⊗...⊗Yₙ が H₁⊗H₂⊗...⊗Hₙ においてフレームを形成することを証明する。さらに、テンソル積空間における正規化双対フレームを特徴づけ、個々の空間における双対フレームとそれらのテンソル積との間の関係を導出し、古典的フレーム理論を多次元線形設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this article we develop a theory for frames in tensor product of Hilbert spaces. We show that like bases if Y_1, Y_2, \cdot \cdot \cdot, Y_n are frames for H_1,H_2, \cdot \cdot \cdot, H_n, respectively, then Y_1\otimesY_2\otimes...\otimesY_n is a frame for H_\otimes1H_2\otimes \cdot \cdot \cdot \otimesH_n. Moreover we consider the canonical dual frame in tensor product space. We further obtain a relation between the dual frames in Hilbert spaces, and their tensor product.

研究の動機と目的

• 個々のヒルバート空間におけるフレーム理論をテンソル積空間へと拡張すること。
• 成分ヒルバート空間におけるフレームのテンソル積が、結果として得られるテンソル積空間においてフレームを形成するかどうかを調査すること。
• テンソル積空間における正規化双対フレームを特徴づけること。
• 成分空間における双対フレームとそれらのテンソル積における双対フレームとの間の数学的関係を確立すること。

提案手法

• ヒルバート空間のテンソル積の代数的および位相的構造を用いて、テンソル積におけるフレームと基底を定義する。
• H_k において {y_{i}^{(k)}} がフレームであるならば、集合 {y_{i_1}^{(1)} ⊗ y_{i_2}^{(2)} ⊗ ... ⊗ y_{i_n}^{(n)}} が H₁⊗H₂⊗...⊗Hₙ においてフレームを形成することを証明する。
• 正規直交基底およびフレームの有界性の性質を用いて、テンソル積空間におけるフレーム条件を検証する。
• フレーム作用素の逆作用素を用いて、テンソル積空間における正規化双対フレームを導出する。
• 成分空間における双対フレームとテンソル積フレームの双対との関係を確立する。
• 特にヒルバート空間作用素およびテンソル積の文脈において、関数解析学およびフレーム理論の既知の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 個々のヒルバート空間におけるフレームのテンソル積は、テンソル積空間においてフレームを生成するか？
• RQ2 ヒルバート空間のテンソル積における正規化双対フレームの構造は何か？
• RQ3 成分空間における双対フレームとテンソル積空間における双対フレームとの関係は何か？
• RQ4 テンソル積フレームのフレーム有界性は、個々のフレームの有界性を用いて表現可能か？
• RQ5 正規直交基底は、テンソル積空間におけるフレームの構築において果たす役割は何か？

主な発見

• ヒルバート空間 H₁, H₂, ..., Hₙ におけるフレーム {Y₁, Y₂, ..., Yₙ} のテンソル積は、テンソル積空間 H₁⊗H₂⊗...⊗Hₙ においてフレームを形成する。
• テンソル積フレームの正規化双対フレームは、個々のフレームの正規化双対フレームのテンソル積に等しい。
• テンソル積フレームのフレーム有界性は、個々のフレームの有界性の積に等しい。
• テンソル積空間における双対フレームは、成分空間における双対フレームをテンソル積演算によって明示的に構成可能である。
• 本理論は、正規直交基底の振る舞いを多次元線形設定におけるフレームへと一般化し、重要な双対性および再構成性の性質を保持する。