[論文レビュー] Frankel Conjecture and Sasaki geometry

Weiyong He, Song Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正の横断的双断面曲率をもつ単連結なコンパクトなサスカエ多様体（次元 $2n+1$）が、$\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ にbiholomorphicなケーラー・コーンをもち、標準球 $S^{2n+1}$ と微分同相であることを証明している。証明は2段階の変形を用いる：まず、サスカエ・リッチフローにより、元の計量を横断的双断面曲率が正であるサスカエ・リッチソリトンに変形する。次に、リーブベクトル場を変化させることで、このソリトンをサスカエ・アインシュタイン計量、すなわち球面に変形する。この結果、ファーレンクル予想が軌道体へと拡張される。

ABSTRACT

We classify simply connected compact Sasaki manifolds of dimension $2n+1$ with positive transverse bisectional curvature. In particular, the Kähler cone corresponding to such manifolds must be bi-holomorphic to $\C^{n+1}\backslash \{0\}$. As an application we recover the Mori-Siu-Yau theorem on the Frankel conjecture and extend it to certain orbifold version. The main idea is to deform such Sasaki manifolds to the standard round sphere in two steps, both fixing the complex structure on the Kähler cone. First, we deform the metric along the Sasaki-Ricci flow and obtain a limit Sasaki-Ricci soliton with positive transverse bisectional curvature. Then by varying the Reeb vector field along the negative gradient of the volume functional, we deform the Sasaki-Ricci soliton to a Sasaki-Einstein metric with positive transverse bisectional curvature, i.e. a round sphere. The second deformation is only possible when one treats simultaneously regular and irregular Sasaki manifolds, even if the manifold one starts with is regular(quasi-regular), i.e. Kähler manifolds(orbifolds).

研究の動機と目的

• 次元 $2n+1$ の単連結なコンパクトなサスカエ多様体で、正の横断的双断面曲率をもつものの分類を行うこと。
• 元々ケーラー多様体に対して証明されたファーレンクル予想を、サスカエ幾何学およびその軌道体類似物へと拡張すること。
• 幾何的フローとサスカエ構造の変形を用いて、ファーレンクル予想の均一な解析的証明を提供すること。
• このようなサスカエ多様体が $S^{2n+1}$ と微分同相であり、そのケーラー・コーンが $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ にbiholomorphicであることの確立。

提案手法

• 初期のサスカエ計量を、ケーラー・コーン上の複素構造を保ちつつ、サスカエ・リッチフローによりサスカエ・リッチソリトンに変形する。
• 曲率の進化に関する最大原理の議論により、サスカエ・リッチソリトンが横断的双断面曲率を正に保つことを証明する。
• リーブベクトル場を変化させることで第二の変形ステップを実行し、体積汎関数を減少させながら、ソリトンをサスカエ・アインシュタイン計量に変形する。
• 正則（準正則）な場合を含む、不規則なサスカエ多様体に対しても、この第二の変形が可能であることを示す。
• チーリング＝グロモフ収束を用いて、正の横断的双断面曲率をもつサスカエ・リッチソリトンの列の極限が、依然としてその性質を保つことを証明する。
• 一様な曲率の上限と自己同型群の構造を用いて、リーブベクトル場の変形空間を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的フローとリーブベクトル場の変動を用いて、正の横断的双断面曲率をもつサスカエ多様体に対してファーレンクル予想を拡張できるか。
• RQ2 正の横断的双断面曲率をもつすべてのサスカエ・リッチソリトンが、リーブベクトル場の変動によってサスカエ・アインシュタイン計量に変形可能か。
• RQ3 固定されたサスカエ多様体上で、サスカエ・リッチソリトンを生成するリーブベクトル場の空間の構造はいかなるものか。
• RQ4 コンパクトなケーラー軌道体が正の双断面曲率をもつ場合、その分類はサスカエ幾何的枠組みから回復可能か。
• RQ5 正の横断的双断面曲率をもつコンパクトなサスカエ軌道体は、必然的に重み付きサスカエ球面の有限被覆か。

主な発見

• 正の横断的双断面曲率をもつ単連結なコンパクトなサスカエ多様体のケーラー・コーンは、$\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ にbiholomorphicである。
• このようなサスカエ多様体は、標準球 $S^{2n+1}$ と微分同相であり、単純なサスカエ計量をもつ。
• サスカエ・リッチフローは、初期計量を、横断的双断面曲率が正であるサスカエ・リッチソリトンに変形し、ケーラー・コーン上の複素構造を保つ。
• リーブベクトル場の変動による第二の変形により、サスカエ・リッチソリトンはサスカエ・アインシュタイン計量、すなわち球面に変形される。
• 極限計量は標準的な球面計量であり、すべてのこのようなサスカエ多様体が球面計量の変形であることを証明する。
• この結果から、正の双断面曲率をもつコンパクトな極化軌道体は、重み付き射影空間の有限被覆であることが導かれる。