[論文レビュー] Fredholm modules over certain group C*-algebras

Tom Hadfield|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、K-ホモロジーと循環コホモロジーを用いて、無限大ダイヒドラル群 ℤ ⋊σ ℤ₂ および半直積 ℤ ⋊σ ℤ の群C*-代数上のフレドホルム・モジュールを構成し分類する。K-ホモロジー群の明示的生成元を同定し、チャーン類ペアリングによりその非自明性を証明し、KK⁰(B, ℂ) ≅ ℤ ⊕ ℤ₂ および KK¹(B, ℂ) ≅ ℤ を確立することで、スペクトル三重対による非可換幾何学の新しい例を提示する。

ABSTRACT

Motivated by the search for new examples of "noncommutative manifolds", we study the noncommutative geometry of the group C*-algebras of various discrete groups. The examples we consier are the infinite dihedral group ${\bf Z} imes_σ {\bf Z}_2$ and the semidirect product ${\bf Z} imes_σ {\bf Z}$. We present a unified treatment of the K-homology and cyclic cohomology of these algebras.

研究の動機と目的

• 離散群のC*-代数、特に無限大ダイヒドラル群および半直積群の非可換幾何学の枠組みを拡張すること。
• これらの代数のK-ホモロジー群の生成元としてフレドホルム・モジュールを同定し、分類すること。
• K-理論の生成元とのチャーン類ペアリングを用いて、これらのフレドホルム・モジュールの非自明性および線形独立性を示すこと。
• 群C*-代数からスペクトル三重対および非可換幾何学を構成する基盤を築くこと。

提案手法

• 半直積 ℤ ⋊σ ℤ に付随するC*-代数BのK-理論およびK-ホモロジーを計算するために、Pimsner-Voiculescuの完全系列を用いる。
• 普遍係数定理および双対性を適用して、K-理論の計算からK-ホモロジー群を導出する。
• *-準同態を ℂ へと定める標準的なフレドホルム・モジュールや、円周のK-ホモロジーからの境界写像から得られるフレドホルム・モジュールを明示的に構成する。
• ホモトピー技法を用いて、円周上に誘導された特定のフレドホルム・モジュールが自明であることを示し、他のモジュールの非自明性を証明する。
• チャーン類ペアリングを計算することで、フレドホルム・モジュールの生成元の非 torsion 性および線形独立性を検証する。
• 群環の循環コホモロジーに関するBurgheleaの結果と、0-コホモロジーの直接計算を用いて、周期的偶数次循環コホモロジーを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大ダイヒドラル群 ℤ ⋊σ ℤ₂ および半直積 ℤ ⋊σ ℤ の群C*-代数のK-ホモロジー群は何か？
• RQ2 これらのC*-代数上のフレドホルム・モジュールは明示的に構成可能であり、非自明かつ線形独立であるか？
• RQ3 K-理論の生成元とのチャーン類ペアリングは、フレドホルム・モジュールの非自明性をどのように確認するか？
• RQ4 これらのフレドホルム・モジュールは、完全な非可換幾何学的構造を有するスペクトル三重対へとどの程度まで引き上げ可能か？
• RQ5 非忠実表現は、低次元の非可換幾何学を生成する役割を果たすか？

主な発見

• C*-代数BのK-理論は K₀(B) ≅ ℤ であり、[1] で生成され、K₁(B) ≅ ℤ ⊕ ℤ₂ であり、[V] と [U] で生成され、[U] + [U] = 0 である。
• K-ホモロジー群 KK⁰(B, ℂ) は ℤ ⊕ ℤ₂ に同型であり、標準的フレドホルム・モジュール w₀ および境界類 ∂₁(z₁) で生成され、∂₁(z₁) + ∂₁(z₁) = 0 である。
• K-ホモロジー群 KK¹(B, ℂ) は ℤ に同型であり、境界写像 ∂₀(z₀) から生じるフレドホルム・モジュール w₁ で生成される。
• チャーン類ペアリングは <ch*(w₀), [1]> = 1 および <ch*(w₁), [V]> = 1 を満たし、w₀ および w₁ が非自明で非 torsion な生成元であることを確認する。
• 誘導フレドホルム・モジュール i*(∂₁(z₁)) は退化モジュールとホモトープであるため、K-ホモロジーにおいて自明であることが示され、K-ホモロジー群の構造が裏付けられる。
• 構成されたフレドホルム・モジュールは非忠実表現であるため、それらは代数の次元より低い次元の非可換幾何学に対応すると示唆される。