[論文レビュー] Fredholm Operators and Einstein Metrics on Conformally Compact Manifolds

John M. Lee|ArXiv.org|May 7, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、背景となるアインシュタイン計量が非正の曲率を持つ、もしくは境界の共形無限大が非負のヤマベ汎関数を持つ場合、境界付きコンパクト多様体の内部に漸近的に双曲的アインシュタイン計量が存在することを確立する。証明は、漸近的に双曲的多様体上の自己随伴楕円型作用素に対する鋭いフレドホルム理論に依拠しており、L²核が自明であることを保証する。これにより、非線形アインシュタイン方程式に対する摂動的解法が逆関数定理によって可能となる。

ABSTRACT

The main purpose of this monograph is to give an elementary and self-contained account of the existence of asymptotically hyperbolic Einstein metrics with prescribed conformal infinities sufficiently close to that of a given asymptotically hyperbolic Einstein metric with nonpositive curvature. The proof is based on an elementary derivation of sharp Fredholm theorems for self-adjoint geometric linear elliptic operators on asymptotically hyperbolic manifolds.

研究の動機と目的

• 境界付きコンパクト多様体上に、所望の共形無限大を有する漸近的に双曲的アインシュタイン計量が存在することを、与えられた背景アインシュタイン計量の近傍で確立すること。
• グレゴリーとリー（2001年）の摂動結果を、背景計量が非正の曲率を持つ場合、もしくは共形無限大が非負のヤマベ汎関数を持つ場合にまで拡張すること。
• 漸近的に双曲的多様体上の自己随伴幾何的線形楕円型作用素に対する鋭いフレドホルム定理の自己完結的導出を提供すること。
• 所定の曲率またはヤマベ条件のもとで、リヒネロイツラプラシアンに2nを加えた作用素が、トレースフリー対称2次テンソル上に自明なL²核を持つことを証明し、非線形設定における逆関数定理の適用を可能にすること。

提案手法

• 重み付きソボレフ空間およびホルダー空間を用いて、漸近的に双曲的多様体上の自己随伴幾何的線形楕円型作用素に対する鋭いフレドホルム定理を導出する。
• トレースフリー対称2次テンソル上でのリヒネロイツラプラシアンΔ_L + 2nを分析し、非正曲率または非負ヤマベ汎関数の仮定のもとで、L²核が自明であることを示す。
• ホルダー空間における逆関数定理を用いて、与えられた漸近的に双曲的アインシュタイン計量に近い計量について、非線形アインシュタイン方程式を摂動的に解く。
• ラプラシアン型作用素の弱い一意的連続性を用いて、曲率の上限またはヤマベ条件が満たされるとき、(Δ_L + 2n)u = 0 のL²解が恒等的に消えることを示す。
• アインシュタイン方程式の解写像S(ĝ) + rを構成し、rは非線形PDE系を満たす。このとき、得られる計量gがC^{l,β}クラスの共形コンパクト計量であることを証明する。
• アンビエント計量構成とモビウス群の実現を用いて、共形不変量とアインシュタイン計量不変量の関係を定式化し、グローバルな対応関係を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きコンパクト多様体の境界上に与えられた共形構造が、漸近的に双曲的アインシュタイン計量の共形無限大として現れるための条件は何か？
• RQ2 背景アインシュタイン計量にどのような幾何的条件を課すと、トレースフリー対称2次テンソル上でのリヒネロイツラプラシアンに2nを加えた作用素が自明なL²核を持つようになるか？
• RQ3 双曲空間に近いアインシュタイン計量の摂動結果を、非正曲率を持つ計量、もしくは非負ヤマベ汎関数を持つ共形無限大を持つ場合に一般化できるか？
• RQ4 非線形アインシュタイン方程式の可解性を保証するため、漸近的に双曲的設定における楕円型作用素のフレドホルム理論をどのように発展させられるか？
• RQ5 共形無限大のヤマベ汎関数は、近傍に存在するアインシュタイン計量の存在にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 任意の非正断面曲率を持つ漸近的に双曲的アインシュタイン計量hに対して、ε > 0が存在し、任意の∂M上のC^{l,β}計量ĝについて、||ĝ - ĥ||_{C^{l,β}} < ε であれば、共形無限大[ĝ]を持つ一意的な漸近的に双曲的アインシュタイン計量gがM上に存在する。
• 共形無限大[ĥ]が非負ヤマベ汎関数であり、hの断面曲率が(n² - 8n)/(8n - 8)以下である場合、トレースフリー対称2次テンソル上でのリヒネロイツラプラシアンに2nを加えた作用素は自明なL²核を持つ。
• hが非正断面曲率を持つとき、不等式(u, (Δ_L + 2n)u) ≥ (n - 1)κ||u||²（κ ≥ 0）により、Δ_L + 2nは自明なL²核を持つ。
• hが断面曲率0のとき、弱い一意的連続性と無限遠点での曲率が-1に近づくことから、解は恒等的に消える。
• 逆関数定理によって構成された解gは、hに対して一様にC²で近いので、gは厳密に負のリッチ曲率を持つ。これにより、グレゴリーとリーの結果からgはアインシュタイン計量である。
• 得られる計量gはC^{l,β}クラスの共形コンパクト計量であり、ρ²gは境界に滑らかに拡張され、共形類[ĝ]を表す。