[論文レビュー] Fredkin Spin Chain

Olof Salberger, V. E. Korepin|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Magnetism in coordination complexes被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Fredkin ゲートに基づく三体相互作用を有する新しいスピンチェーン模型を提案し、その基底状態を Dyck パath に写像し、色付き Dyck ワークを導入することで高スピン系に一般化する。この模型は異常な高い量子もつれエントロピーのスケーリング √L を示し、面積則を破る。特に SU(k) 対称系では、主項が log(k)√L に比例する。

ABSTRACT

We introduce a new model of interacting spin 1/2. It describes interaction of three nearest neighbors. The Hamiltonian can be expressed in terms of Fredkin gates. The Fredkin gate (also known as the CSWAP gate) is a computational circuit suitable for reversible computing. Our construction generalizes the work of Ramis Movassagh and Peter Shor. Our model can be solved by means of Catalan combinatorics in the form of random walks on the upper half of a square lattice [Dyck walks]. Each Dyck path can be mapped to a wave function of the spins. The ground state is an equally weighted superposition of Dyck walks [instead of Motzkin walks]. We can also express it as a matrix product state. We further construct the model of interacting spins 3/2 and greater half-integer spins. The models with higher spins require coloring of Dyck walks. We construct SU(k) symmetric model [here k is the number of colors]. The leading term of the entanglement entropy is then proportional to the square root of the length of the lattice [like in Shor-Movassagh model]. The gap closes as a high power of the length of the lattice.

研究の動機と目的

• 半整数スピン、特にスピン-1/2 およびそれ以上の半整数スピンへの Shor-Movassagh スピンチェーン模型の一般化を目的とする。
• Fredkin（CSWAP）ゲートを用いた三サイト相互作用を持つハミルトニアンの構築を通し、可逆的量子計算構造を可能にする。
• 基底状態とカタラン組合せ論における Dyck パath の間の関係を、上半平面における格子ウォークを用いて確立する。
• 色付き Dyck ワークを導入することで、高スピン系へのモデルの一般化を図り、SU(k) 対称性を実現する。
• もつれエントロピーを解析し、√L スケーリングの挙動を通じて面積則の破れを示す。

提案手法

• パラメータとして三サイト相互作用を用い、スピンの singlet 状態およびスピン上/下状態への射影をパウリ演算子で表現することで、バルクハミルトニアンを定義する。
• ユニタリ性と可逆性を保証するため、Fredkin ゲート（三キュービットにおける制御スワップ操作）を用いてハミルトニアンを表現する。
• スピン配置を Dyck 語（バランスの取れた括弧列）に写像し、各有効な Dyck パスが基底状態の重ね合わせにおける基底状態に対応する。
• 未マッチドな括弧に k 種類の色を割り当てることで高スピン系に一般化し、ヒルバート空間次元を増加させる。
• 正規化をカタランの組合せ論を用いて行い、すべての有効な色付き Dyck パスの等重ね合わせとして基底状態を構築する。
• スレーニング分解を用いてもつれエントロピーを計算し、系を左・右の部分系に分割し、未マッチドな括弧の分布を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三体相互作用を有する Fredkin 型スピンチェーンを構築し、組合せ論的構造を持つ高もつれ基底状態を実現できるか？
• RQ2 このような模型におけるもつれエントロピーはどのようにスケーリングするか、特に面積則との関係はどうなるか？
• RQ3 色付き Dyck ワークは、高スピン系および SU(k) 対称模型へのモデル一般化において果たす役割は何か？
• RQ4 スピンチェーンの文脈において、基底状態波動関数はランダムウォークおよびカタラン数とどのように関係するか？
• RQ5 色付き Dyck 状態におけるもつれエントロピーの主要項の挙動は何か？また、色の数 k に依存するか？

主な発見

• スピン-1/2 Fredkin チェーンの基底状態は、長さ N のすべての Dyck パスに対応する、バランスの取れた括弧列の等重ね合わせである。
• 高スピン系では、未マッチドな括弧に k 色を割り当てることで、すべての色付き Dyck パスの重ね合わせとして基底状態が構成され、k^n × Cat(n) 個の基底状態が得られる。
• もつれエントロピーは S ≈ S₁/₂ + (2/√π) log(k) √(2L(N−L)/L) とスケーリングし、主項が √L に比例するため、面積則を破る。
• スレーニングランクは k^L mod 2 × (k^{⌊L+2⌋} − 1)/(k² − 1) とスケーリングし、異なるもつれチャネルの数を反映する。
• エネルギー準位のギャップは系サイズ N の高次のべき乗として閉じるため、臨界的挙動を示す。
• 本模型は、半整数スピンへの Shor-Movassagh スピンチェーンの一般化であり、制御されたもつれスケーリングを有する SU(k) 対称系への拡張を実現する。