[論文レビュー] Free adequate semigroups

Mark Kambites|ArXiv.org|Feb 2, 2009

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、自然な乗法作用の下で辺ラベル付き有向木の集合として、自由適切半群の明示的な組合せ的記述を提供する。『折りたたみ』写像を導入し、これらの木をマンツリーに写像することで、マンツの自由逆半群に関する研究の幾何的類似を確立し、自由適切半群がJ-自明であり、かつ有限生成としての半群としては決して生成されないことを証明する。また、(2,1,1)-代数として有限生成される場合の語問題が決定可能であることを示す。

ABSTRACT

We give an explicit description of the free objects in the quasivariety of adequate semigroups, as sets of labelled directed trees under a natural combinatorial multiplication. The morphisms of the free adequate semigroup onto the free ample semigroup and into the free inverse semigroup are realised by a combinatorial "folding" operation which transforms our trees into Munn trees. We use these results to show that free adequate semigroups and monoids are J-trivial and never finitely generated as semigroups, and that those which are finitely generated as (2,1,1)-algebras have decidable word problem.

研究の動機と目的

• 自由適切半群の明示的な組合せ的記述を提供すること。これは、以前はこのような特徴付けが存在しなかった。
• マンツの自由逆半群に対する幾何的アプローチを、より広いクラスの適切半群へ一般化すること。
• 自由適切半群およびモノイドの構造的およびアルゴリズム的性質を確立すること。これには、J-自明性および有限生成の性質が含まれる。
• 自由適切半群として有限生成される場合、語問題がアルゴリズム的に決定可能であることを示すこと。ここで、(2,1,1)-代数としての視点が用いられる。

提案手法

• 自然な乗法作用の下で、辺ラベル付き、有向、根付き、再帰的でない木の集合として自由適切半群を表現する。
• これらの木をマンツリーに写像する『折りたたみ』作用を定義し、自由適切半群から自由逆半群への準同型を実現する。
• 刈り込みと同型不変性を用いて、代数的演算による木の同値類を特徴付ける。
• 刈り込まれた木の構造とその乗法的性質を応用し、単射準同型および再統合を用いてJ-自明性を証明する。
• 深さ関数δ(X)を用いて、いかなる有限な木の集合に対してもすべての可能な木を生成できないことを示し、無限生成性を証明する。
• 木の同型および刈り込みを活用し、網羅的探索によって語問題の決定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由適切半群は、マンツの自由逆半群の記述に類似した、明示的な組合せ的記述を持つことができるか？
• RQ2 自由適切半群から自由逆半群への準同型は、どのように組合せ的に現れるか？
• RQ3 自由適切半群はJ-自明であるか？ そして、これによって生じる構造的帰結は何か？
• RQ4 自由適切半群における語問題は、アルゴリズム的に決定可能か？ その計算量の複雑さは何か？
• RQ5 自由適切半群は、半群として有限生成可能か？ これは代数的記号の体系に依存するか？

主な発見

• 自由適切半群およびモノイドはJ-自明であり、これは2つの異なる元が同じ主両側イデアルを生成しないことを意味する。
• 自由適切半群は、木の深さが無限に増大するため、半群として有限生成されない。これは、生成集合が有限であっても同様である。
• 有限生成された自由適切半群またはモノイドにおける語問題は決定可能であり、同値性が刈り込まれたラベル付き有向木の同型性に還元されるためである。
• 自由適切半群から自由逆半群への準同型は、木をマンツリーに変換する組合せ的『折りたたみ』作用に対応する。
• 頂点から幹までの最大距離を測る深さ関数δ(X)は、乗法に関して劣加法的であり、自由半群上で無限に増大する。これにより、無限生成性が証明される。
• 刈り込みと木の同型性テストにより、語問題の決定手続きが得られるが、その計算量の複雑さは未解決のままである。