[論文レビュー] Free Algebra with Countable Basis

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Advanced Algebra and Logic参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特性 0 の可換環 D 上の可算基底をもつ自由 D-代数の理論を展開し、代数的（位相なし）のハメル基底と収束を要する位相的（シュードァー基底）を区別する。多線形写像および代数的積がシュードァー基底において収束を保つための条件を確立し、構造定数が収束級数を定めるならば、正規収束展開を持つ元の積が、そのような元の集合に属することを証明する。

ABSTRACT

In this book I treat the structure of D-module which has countable basis. If we do not care for topology of D-module, then we consider Hamel basis. If norm is defined in D-module, then we consider Schauder basis. In case of Schauder basis, we consider vectors whose expansion in the basis converges normally.

研究の動機と目的

• 可換環 D（特性 0）上に可算基底をもつ自由 D-加群および D-代数の構造を形式化すること。
• 特にノルム付き加群の文脈において、代数的（ハメル）基底と位相的（シュードァー）基底を区別すること。
• 多線形写像および代数的積がシュードァー基底において収束を保つための条件を確立すること。
• 構造定数が収束級数を定めるならば、正規収束展開を持つ元の積が、そのような元の集合に属することを保証すること。
• 特に関数解析的設定において、非可換環上の線形代数のための基盤を提供すること。

提案手法

• 位相なしの代数的構造として、有限線形結合によって定義されるハメル基底を用いる。
• ノルム付き D-加群におけるシュードァー基底を導入し、展開が正規収束することを要請する。
• 連続的多線形写像を表すために、ノルム付き D-加群 L(D; A1, ..., An; A) および LC(D; A1, ..., An; A) を定義する。
• 正規収束の概念を適用して、多線形写像およびその合成の連続性を保証する。
• D-代数の乗法に用いる構造定数 Ck_ij を定義し、すべての i,j に対して ∑k Ck_ij ek が収束することを要請する。
• 多線形写像および関数のノルムを用いて、位相的設定における有界性および連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D-代数がシュードァー基底をもつ場合、乗法において正規収束の性質が保たれる条件は何か？
• RQ2 ノルム付き D-加群間の多線形写像が連続性および有界性を満たすように、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 構造定数が、正規収束展開を持つ二つの元の積が、そのような元の集合に留まるように保証する役割を果たすか？
• RQ4 ハメル基底とシュードァー基底の区別が、線形および多線形写像の表現および連続性に与える影響は何か？
• RQ5 シュードァー基底の文脈において、連続な多線形写像の合成が連続のままであるための条件は何か？

主な発見

• D-代数がシュードァー基底をもち、すべての i,j に対して ∑k Ck_ij ek が収束するならば、その代数は位相的にもwell-definedである。
• 正規収束展開 a = ∑aiei および b = ∑bjej をもつ二つの元の積は、well-definedであり、A+(e)（正規収束展開を持つ元の集合）に属する。
• 多線形写像 f: A1 × ... × An → A のノルムが有限であることは、関連する写像 f^: A1 × ... × An → A が連続的かつ有界であることにちょうど同値である。
• 任意の連続的多線形写像 f で ∥f∥ < ∞ であり、かつ ai ∈ A+i(e) であるならば、f(a1, ..., an) は A+(e) に属し、これにより写像の下での閉包性が保証される。
• 構造定数が収束級数を生成するならば、D-代数における乗法に関して、A+(e)（正規収束展開を持つベクトルの集合）は乗法について閉じている。
• 双対 D-加群 L(D; A; D) は、ei(ej) = δij を満たす双対基底 {ei} をもち、この双対性は与えられた基底の下で元の加群の構造を保つ。