[論文レビュー] Free algebras arising from positive-entropy automorphisms of surfaces

S. Paul Smith|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲面上の関数体のスキュー・ローレンツ拡張における自由部分代数の存在について、明確な動的基準を確立する。$ k(X)[t^{\pm 1};\sigma] $ が2個以上の生成元を持つ自由部分代数を含むのは、$ \sigma^* $ のネロン＝セベリ群上のスペクトル半径が1より大きいときであり、非可換代数幾何学と複素動的システムを、動的次数およびエントロピーを通じて結びつける。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective surface defined over an uncountable algebraically closed field k and let k(X) be its field of rational functions. Let s be an automorphism of X. This paper proves there is a non-negative integer n and elements a and b in k(X) such that the subalgebra of the skew Laurent extension k(X)[t, t^{-1};s] generated by at^n and bt^n is a free algebra if and only if the spectral radius for the action of s^* on the Neron-Severi group of X is >1. Thus, when s is an automorphism of a smooth complex projective surface X, C(X)[t,t^{-1};s] has a free subalgebra on >1 variables if and only if the topological entropy of s is positive. Furthermore, if s is an automorphism of k(X), then k(X)[t,t^{-1};s] contains a free subalgebra if and only if the dynamical degree of s is >1; in this situation, s might not be induced by an automorphism of any smooth projective surface. These results are used to show that certain twisted homogeneous coordinate rings of smooth projective surfaces contain free subalgebras.

研究の動機と目的

• スキー・ローレンツ拡張 $ k(X)[t^{\pm 1};\sigma] $ が2個以上の生成元を持つ自由部分代数を含む条件を特定すること。
• このような自由部分代数の存在を、ネロン＝セベリ群上の $ \sigma^* $ のスペクトル半径に関連付けること。
• 曲面自己同型によって誘導されない関数体の自己同型に対しても、この基準を拡張すること。
• 結果をねじれられた同次座標環に適用し、動的次数が1より大きい場合に自由部分代数を含むことを示すこと。

提案手法

• 中心的不変量として、$ \mathrm{NS}(X)_{\mathbb{R}} $ 上への誘導作用のスペクトル半径 $ \rho(\sigma^*) $ を用いる。
• アーティン＝ヴァン・デン・ベルク、キーラー、ロガルスキー＝ジャンプらの非可換代数幾何学の結果を用い、スキー・ローレンツ拡張における自由性を分析する。
• 生成元 $ ab^{-1} $ が非常にアンピールな零点因子を持つ場合に、$ k\{at^n, bt^n\} $ の自由性を保証する十分条件を $ \rho(\sigma^*)^n \geq 5 + 2\sqrt{6} $ として確立する。
• $ \mathrm{NS}(X)_{\mathbb{R}} $ 上での交線理論とホッジ指数定理を用い、$ \sigma^* $ による除数類の成長を分析する。
• 要素 $ at^n, bt^n $（$ a,b \in k(X) $）を用いて、$ \sigma $ の除数上の力学的性質を応用し、明示的な自由部分代数を構成する。
• ベース拡張を用いたリフト補題を適用し、可算でない代数的に閉じた体から任意の体への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面自己同型 $ \sigma $ に対して、スキー・ローレンツ拡張 $ k(X)[t^{\pm 1};\sigma] $ が2個以上の生成元を持つ自由部分代数を含むのはいつか？
• RQ2 このような自由部分代数の存在を保証する $ \sigma $ の明確な動的条件は何か？
• RQ3 $ \mathrm{NS}(X)_{\mathbb{R}} $ 上での $ \sigma^* $ のスペクトル半径は、$ \sigma $ の位相的エントロピーおよび動的次数とどのように関係するか？
• RQ4 自由性基準を曲面自己同型に限らず、関数体の自己同型へと拡張できるか？
• RQ5 ねじれられた同次座標環 $ B(X,\mathcal{L},\sigma) $ が自由部分代数を含む条件は何か？

主な発見

• スキー・ローレンツ拡張 $ k(X)[t^{\pm 1};\sigma] $ が2個以上の生成元を持つ自由部分代数を含むのは、スペクトル半径 $ \rho(\sigma^*) > 1 $ のときに限る。
• $ \rho(\sigma^*) > 1 $ ならば、十分大きな $ n $ に対して $ \rho(\sigma^*)^n \geq 5 + 2\sqrt{6} $ が成り立つとき、すべての $ a,b \in k(X) $ に対して $ \operatorname{div}(ab^{-1}) $ が非常にアンピールな場合、部分代数 $ k\{at^n, bt^n\} $ は自由である。
• $ \dim \mathrm{NS}(X)_{\mathbb{R}} = 2 $ のとき、閾値条件は $ \rho(\sigma^*)^n \geq 2 + \sqrt{3} $ に弱体化できる。
• 曲面自己同型によって誘導されない $ k(X) $ の自己同型に対しては、$ k(X)[t^{\pm 1};\sigma] $ が自由部分代数を含むのは、動的次数 $ \lambda(\sigma) > 1 $ のときに限る。
• この結果により、ある種のねじれられた同次座標環 $ B(X,\mathcal{L},\sigma) $ が $ \rho(\sigma^*) > 1 $ のとき自由部分代数を含むことが示される。
• 動的次数が2であるヘノン写像 $ \sigma(x,y) = (1+y-ax^2, bx) $ は $ n=4 $ で自由性条件を満たすため、$ k\{xt^4, yt^4\} $ は自由であり、先行研究により $ k\{xt, yt\} $ が自由であることも示されている。