[論文レビュー] Free associative algebras, noncommutative Grobner bases, and universal associative envelopes for nonassociative structures

Murray R. Bremner|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自由非可換代数における非可換グレブナー基底を用いて、特に三重線形演算で定義される非可換構造の普遍的可換包を構成する。2次元の可換三重系の先行研究を4次元および6次元の場合に拡張し、計算代数を用いて明示的な構成とアルゴリズム的検証を実施することで、この手法の有効性を示している。

ABSTRACT

These are the lecture notes from my short course of the same title at the CIMPA Research School on Associative and Nonassociative Algebras and Dialgebras: Theory and Algorithms - In Honour of Jean-Louis Loday (1946-2012), held at CIMAT, Guanajuato, Mexico, February 17 to March 2, 2013. The underlying motivation is to apply the theory of noncommutative Grobner bases in free associative algebras to the construction of universal associative envelopes for nonassociative structures defined by multilinear operations. Trilinear operations were classified by the author and Peresi in 2007. In her Ph.D. thesis of 2012, Elgendy studied the universal associative envelopes of nonassociative triple systems obtained by applying these trilinear operations to the 2-dimensional simple associative triple system. In these notes I use computer algebra to extend some aspects of her work to the 4-dimensional and 6-dimensional simple associative triple systems.

研究の動機と目的

• 非可換グレブナー基底を用いたアルゴリズム的枠組みを構築し、非可換代数の普遍的可換包を構成すること。
• Elgendy（2012）の2次元可換三重系に関する先行研究を、4次元および6次元の高次元系へ拡張すること。
• 非可換構造の文脈における非可換グレブナー基底理論の具体例と計算ツールを提供すること。
• 特に三重線形演算で定義される非可換代数の普遍的可換包理論における未解決問題に取り組むこと。
• コンピュータ代数システムの非可換代数的構造およびその可換包を探索するための有効性を示すこと。

提案手法

• 自由可換代数における非可換グレブナー基底の理論を用いて、非可換構造の普遍的可換包を定義および計算する。
• コンポジション（ダイヤモンド）補題を適用し、リー代数におけるPoincaré-Birkhoff-Witt（PBW）定理を検証するとともに、非可換系へ拡張する。
• 計算代数技法を用いて、非可換三重系の関係を符号化する自由可換代数内のイデアルを構成する。
• コンピュータ代数システムを用いて、これらのイデアルのグレブナー基底を計算し、自由可換代数の商として普遍的可換包を特定する。
• BremnerとPeresi（2007）による三重線形演算の分類を応用し、非可換三重系の定義関係を定義する。
• 普遍的性質（任意の可換包が普遍的包を通じて因数分解可能）による、構成された包の普遍性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換グレブナー基底は、多変数線形演算で定義される非可換代数の普遍的可換包を体系的に構成するためにどのように応用可能か？
• RQ2 4次元および6次元の単純な可換三重系の普遍的可換包の構造はどのようなものか？
• RQ3 2次元三重系に用いられた計算フレームワークは、類似のアルゴリズム的効率を維持しながら、高次元系へ拡張可能か？
• RQ4 ジョルダン代数からその普遍的可換包への自然な写像の非単射性の意味は何か？ そして、これは特別な代数と例外的代数の分類にどのように影響するか？
• RQ5 非可換グレブナー基底理論は、ダイ代数、ディンドリズム代数、クアドリ代数へどの程度一般化可能か？

主な発見

• n次元アーベルリー代数の普遍的可換包は、多項式代数 $F[x_1, \tdots, x_n]$ に同型であり、既知の結果と整合することを示している。
• 積が自明なn次元アーベルジョルダン代数の普遍的可換包は、外積代数 $\bigwedge(x_1, \tdots, x_n)$ に同型であり、次元は $2^n$ である。これは、ジョルダン系においても本手法の正しさを裏付けている。
• 本稿では、Elgendyの2次元可換三重系に関する研究を4次元および6次元系へ成功裏に拡張し、自由可換代数における定義関係の明示的グレブナー基底計算を提供している。
• 非可換グレブナー基底による普遍的可換包の構成は一般に無限次元代数を生じるが、これはPBW定理および普遍包代数の既知の無限次元性と整合している。
• 本手法により、非可換代数からその普遍的可換包への自然な写像がリー代数の場合に単射であることが確認され、グレブナー基底技法によるPBW定理の支持が得られた。
• アルゴリズム的アプローチにより、定義関係および商代数の特定が可能となり、非可換構造を可換代数的ツールで研究するための計算的道筋が提供された。