[論文レビュー] Free boundary minimal surfaces: a nonlocal approach

Alessandro Pigati, Francesca Da Lio|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、$\mathcal{N} \subset \mathbb{R}^m$ における $C^k$-滑らかさを持つ閉部分多様体に値をとる $\frac{1}{2}$-調和写像を通じて、自由境界をもつ最小的超曲面の非局所的アプローチを提案する。このような写像が、調和拡張を通じて定義される非局所的エネルギー汎関数の臨界点であることを確立し、$\delta \in (0,1)$ に対して $C^{k-1,\delta}$ の正則性を証明する。これにより、$\mathcal{N}$ 上の分岐最小的埋め込みと自由境界をもつ写像が結びつけられる。主な貢献は、交換子推定と分数階ソボレフ空間を用いた $\frac{1}{2}$-調和写像の正則性理論の構築である。

ABSTRACT

Given a $C^k$-smooth closed embedded manifold $\mathcal N\subset{\mathbb R}^m$, with $k\ge 2$, and a compact connected smooth Riemannian surface $(S,g)$ with $\partial S eq\emptyset$, we consider $\frac 12$-harmonic maps $u\in H^{1/2}(\partial S,\mathcal N)$. These maps are critical points of the nonlocal energy \begin{equation}E(f;g):=\int_S\big| abla\widetilde u\big|^2\,d ext{vol}_g,\end{equation} where $\widetilde u$ is the harmonic extension of $u$ in $S$. We express the energy as a sum of the $\frac 12$-energies at each boundary component of $\partial S$ (suitably identified with the circle $\mathcal S^1$), plus a quadratic term which is continuous in the $H^s(\mathcal S^1)$ topology, for any $s\in\mathbb R$. We show the $C^{k-1,δ}$ regularity of $\frac 12$-harmonic maps. We also establish a connection between free boundary minimal surfaces and critical points of $E$ with respect to variations of the pair $(f,g)$, in terms of the Teichmüller space of $S$.

研究の動機と目的

• 閉 $C^k$-滑らかさを持つ部分多様体 $\mathcal{N} \subset \mathbb{R}^m$ への $\frac{1}{2}$-調和写像を用いた、自由境界をもつ最小的超曲面の非局所的変分的枠組みを確立すること。
• エネルギー汎関数 $E(f;g) = \int_S |\nabla \widetilde{u}|^2 \, d\text{vol}_g$ の分析において、$u \in H^{1/2}(\partial S, \mathcal{N})$ の調和拡張 $\widetilde{u}$ を用い、境界上の $\frac{1}{2}$-エネルギーと連続な二次形式の項に分解すること。
• $\delta \in (0,1)$ に対して $\frac{1}{2}$-調和写像の $C^{k-1,\delta}$ 正則性を証明し、古典的設定を超えた正則性結果を拡張すること。
• $\mathcal{N}$ 上の分岐最小的埋め込みと自由境界をもつ写像との幾何的対応関係を、直交境界条件を満たす調和拡張を介して確立すること。
• $E$ の臨界点が表面 $S$ のテイコミュラー空間幾何とどのように関係するかを示し、計量 $g$ の共形変化に対して不変であることを示すこと。

提案手法

• 調和拡張 $\widetilde{u}$ を用いて、$u \in H^{1/2}(\partial S, \mathcal{N})$ の $\frac{1}{2}$-調和写像を、非局所エネルギー $E(f;g)$ の臨界点として定義する。
• エネルギー $E(f;g)$ を、各境界成分（$\mathcal{S}^1$ と同一視可能）における $\frac{1}{2}$-エネルギーの和と、任意の $s \in \mathbb{R}$ に対して $H^s(\mathcal{S}^1)$ で連続な二次形式の項に分解する。
• すべての $v \in L^\infty \cap H^{1/2}$ に対して $v \in T_u\mathcal{N}$ 几乎 everywhere を満たすとき、条件 $\int_{\partial S} \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial \nu} \cdot v \, d\text{vol}_g = 0$ から得られるオイラー＝ラグランジュ方程式を用い、$\mathcal{D}'(\partial S)$ 内で $P^T(u) \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial \nu} = 0$ を得る。
• リーマン変換と分数階ラプラシアンに対する交換子推定を用いて、$w$ が射影方程式 $P^T(w)(-\Delta)^{1/2}w = h$ を満たすときの $\nabla w$ の正則性を制御する。
• リトルウッド＝パイルの分解と分数階ソボレフ空間 $H^{s,p}$ を用い、正則性をブートストラップし、すべての $1 < p < \infty$、$\epsilon > 0$ に対して $w \in \bigcap_{\gamma > 1/p} H^{k-1/p - \epsilon, p}_{\text{loc}}(\mathbb{R})$ を示す。
• 補題 B.7 を適用して、すべての $\delta \in (0,1)$ に対して $u \in C^{k-1,\delta}_{\text{loc}}(\partial S)$ を得る。$\mathcal{N}$ が $C^\infty$-滑らかであれば、$u$ は $C^\infty$-滑らかになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由境界をもつ最小的超曲面の理論は、調和拡張に基づく非局所的エネルギー汎関数を用いてどのように再定式化できるか？
• RQ2 コンパクトな境界をもつ表面における $\frac{1}{2}$-エネルギーの正確な分解は何か？ また、境界上の $H^s$-位相とはどのように関係するか？
• RQ3 $\mathcal{N}$ が $C^k$-滑らかであるとき、$u \in H^{1/2}(\partial S, \mathcal{N})$ である $\frac{1}{2}$-調和写像がどのような正則性を引き受けるか？
• RQ4 $\frac{1}{2}$-調和写像と $\mathcal{N}$ 上の分岐最小的埋め込みおよび自由境界をもつ写像との関係は何か？ また、調和拡張はどのような役割を果たすか？
• RQ5 $E(f;g)$ は計量 $g$ の共形類にどのように依存するか？ また、$S$ のテイコミュラー空間とはどのような関係にあるか？

主な発見

• エネルギー $E(f;g)$ は、各境界成分における $\frac{1}{2}$-エネルギーの和と、任意の $s \in \mathbb{R}$ に対して $H^s(\mathcal{S}^1)$ で連続な二次形式の項に分解され、境界寄与の精密な解析が可能になる。
• $\frac{1}{2}$-調和写像は、$\mathcal{D}'(\partial S)$ 内で $P^T(u) \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial \nu} = 0$ であるときかつそのときに限り、$E(f;g)$ の臨界点である。これは自由境界条件を特徴付ける。
• $\frac{1}{2}$-調和写像の調和拡張 $\widetilde{u}$ は、孤立点を除き共形的であるため、$\mathcal{N}$ への分岐最小的埋め込みと自由境界をもつ写像を定義する。
• $\delta \in (0,1)$ に対して、交換子推定と分数階ソボレフ空間の技法を用いて、$\frac{1}{2}$-調和写像の $C^{k-1,\delta}$ 正則性が確立される。
• 解 $u$ は、すべての $1 < p < \infty$、$\epsilon > 0$ に対して $\bigcap_{\gamma > 1/p} H^{k-1/p - \epsilon, p}_{\text{loc}}(\mathbb{R})$ に属する。これは、すべての $\delta \in (0,1)$ に対して $C^{k-1,\delta}_{\text{loc}}$ 正則性を意味する。
• $\mathcal{N}$ が $C^\infty$-滑らかであれば、$u$ は $C^\infty$-滑らかになる。これは、被覆多様体の滑らかさが向上するにつれて正則性が改善することを示している。