[論文レビュー] Free Boundary Problems via Da Prato-Grisvard Theory

Raphaël Danchin, Matthias Hieber+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Navier-Stokes equation solutions被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Da Prato-Grisvardの枠組みを用いて、放物型進化方程式に対するL¹-最大正則性理論を構築し、流体力学における自由界面問題の時間全域での適切性を保証する。初期データが小さい場合に、非圧縮性粘性流体および圧縮性圧力なし気体の強解を確立する。これは、ノイマン型境界条件の下でストークス作用素およびラメ作用素に対するエンドポイントL¹-正則性を活用している。

ABSTRACT

An $\mathrm{L}_1$-maximal regularity theory for parabolic evolution equations inspired by the pioneering work of Da Prato and Grisvard is developed. Besides of its own interest, the approach yields a framework allowing global-in-time control of the change of Eulerian to Lagrangian coordinates in various problems related to fluid mechanics. This property is of course decisive for free boundary problems. This concept is illustrated by the analysis of the free boundary value problem describing the motion of viscous, incompressible Newtonian fluids without surface tension and, secondly, the motion of compressible pressureless gases. For this purpose, an endpoint maximal $\mathrm{L}_1$-regularity approach to the Stokes and Lamé systems is developed. It is applied then to establish global, strong well-posedness results for the free boundary problems described above in the case where the initial domain coincides with the half-space, and the initial velocity is small with respect to a suitable scaling invariant norm.

研究の動機と目的

• 無限の深さを持つ自由界面問題における時間全域での解の存在という、長年の未解決問題に取り組む。
• Euler座標とラグランジュ座標の間の変換を制御するため、L¹-最大正則性に基づく関数解析的枠組みを構築する。
• 半空間内における非圧縮性粘性流体および圧縮性圧力なし気体の運動について、強解の適切性を確立する。
• 同調的Besov空間におけるストークス系およびラメ系の最大正則性を体系的に扱う。
• 臨界関数空間における初期データのスケーリング不変な小さな仮定の下で、時間全域の存在結果を達成する。

提案手法

• 放物型系におけるL¹-正則性に注目し、同調的Besov空間へのDa Prato-Grisvardの定理の適応を試みる。
• 上半空間におけるストークス作用素およびラメ作用素のエンドポイントL¹-正則性推定を、ノイマン型境界条件の下で開発する。
• 実補間理論および同調的関数空間を用いて、ストークス作用素の定義域とその最大正則性特性を特徴付ける。
• 微分同相写像の積および補間推定を用いて、座標変換に起因する非線形項を処理する。
• 非線形自由界面問題の時間全域存在性を示すために、臨界関数空間枠組みにおける固定点法を構築する。
• パラメータ楕円性およびセクタリオニティの議論を用いて、全系を制御するため、ノイマンラプラシアンのリゾルベント推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L¹-最大正則性技法は、流体力学における無限深さの自由界面問題に拡張可能か？
• RQ2 同調的Besov空間およびノイマン型境界条件は、ストークス系の時間全域での適切性を達成するために果たす役割は何か？
• RQ3 自由界面問題において、Euler座標からLagrange座標への変換は、どのようにして時間全域で制御可能か？
• RQ4 非圧縮性粘性流体の系が、初期データのどのような小さな条件下で時間全域の強解を有するか？
• RQ5 同じ枠組みは圧縮性圧力なし気体に適用可能か？解析上の構造的差異は何か？

主な発見

• 本稿は、半空間上における同調的Besov空間におけるストークス作用素のL¹-最大正則性を確立し、スペクトルパrameterに関して一様に有界な推定を得た。
• 初期速度がスケーリング不変ノルムで小さい場合、半空間内における非圧縮性粘性流体の自由界面問題に対して、時間全域の強解が存在する。
• 半空間内におけるラメ系はエンドポイントL¹-正則性を有し、初期データが小さい条件下で圧縮性圧力なし気体の流れの解析が可能となり、時間全域での適切性が保証される。
• 最大正則性枠組みを用いることで、Euler座標からLagrange座標への変換が時間全域で制御可能であり、自由界面の時間発展を扱う上で不可欠である。
• ノイマンラプラシアンのリゾルベント推定を導出し、法線微分および高階微分を含む全系の有界性を制御した。
• L¹-最大正則性推定が非線形摂動に対して安定であるため、臨界関数空間枠組みにおける固定点法は成功した。