[論文レビュー] Free-by-cyclic groups have solvable conjugacy problem

Oleg Bogopolski, Armando Martino+2 more|ArXiv.org|May 10, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、自由群の自己同型の固定部分群を計算するマスラコヴァのアルゴリズムと、自己同型のべきによって写される巡回語の関係を決定可能にするブリンクマンの結果を用いて、有限生成自由群に沿ったアーベル群の自己同型群における共役問題が、自由群におけるねじれ共役問題に還元されることを確立する。著者らは、共役要素を効果的に決定するアルゴリズムを構築し、これによりべき共役問題への拡張も可能となる。

ABSTRACT

We show that the conjugacy problem is solvable in [finitely generated free]-by-cyclic groups, by using a result of O. Maslakova that one can algorithmically find generating sets for the fixed subgroups of free group automorphisms, and one of P. Brinkmann that one can determine whether two cyclic words in a free group are mapped to each other by some power of a given automorphism. The algorithm effectively computes a conjugating element, if it exists. We also solve the power conjugacy problem and give an algorithm to recognize if two given elements of a finitely generated free group are Reidemeister equivalent with respect to a given automorphism.

研究の動機と目的

• 有限生成自由群に沿ったアーベル群の共役問題を解くこと。この群のクラスは、一般に双曲的でも自動的でもない。
• 自己同型の位数が有限または内自己同型であるような特殊ケースについて既知の結果を、一般化されたアルゴリズムに拡張すること。
• 共役要素を計算する効果的アルゴリズムを提供すること。
• このような群におけるべき共役問題を解くこと。すなわち、2つの元がべきをとることで共役になるかどうかを決定すること。
• 自由群におけるリーデイスターマー同値とねじれ共役性に関する未解決の問いに答えを提示すること。

提案手法

• 自由群に沿ったアーベル群における共役問題を、自由群の基底におけるねじれ共役問題に還元する。
• マスラコヴァのアルゴリズムを用いて、自由群自己同型の固定部分群の有限生成集合を計算する。
• ブリンクマンの決定可能性結果を用いて、2つの巡回語が与えられた自己同型のべきによって関係づけられるかどうかを判定する。
• 自由群における根の唯一性を活用し、べき共役問題を根問題とねじれ共役性のチェックに還元する。
• 技術的補題を適用して、べき共役問題における指数の探索空間を縮小し、検査すべきケース数を制限する。
• これらのツールを統合して、標準的およびべき共役問題を完全かつ効果的に解くアルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限生成自由群に沿ったアーベル群において、共役問題は解けるのか。特に双曲的でも自動的でもない群に対しても同様に成り立つか。
• RQ2 このような群において、2つの群の元の間の共役要素を効果的に計算するアルゴリズムは存在するか。
• RQ3 任意の自己同型に対して、有限生成自由群におけるねじれ共役問題はアルゴリズム的に解けるか。
• RQ4 これらの群におけるべき共役問題は、指数と共役要素の明示的計算を伴う決定手続きを有するか。
• RQ5 与えられた自己同型に関するリーデイスターマー同値が、自由群においてアルゴリズム的に認識可能か。

主な発見

• 双曲的でも自動的でもない群を含め、すべての有限生成自由群に沿ったアーベル群において、共役問題は可解である。
• 共役要素を計算する効果的アルゴリズムが提供され、それが存在する場合にはその計算が可能である。
• 任意の自己同型に対して、有限生成自由群におけるねじれ共役問題は解ける。これは文献における未解決の問いに答えを提示する。
• このような群においてべき共役問題は解ける。非ゼロの指数と共役要素を決定する手順が存在する。
• 解決策は、マスラコヴァの固定部分群アルゴリズムとブリンクマンの自己同型のべきに関する決定可能性結果の組み合わせに依存する。
• 従来のバーチャル内自己同型に関する研究を拡張し、すべてのケースに対して一様な解決策を提供する。