[論文レビュー] Free complete Wasserstein algebras

Radu Mardare, Prakash Panangaden+1 more|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|Feb 20, 2018

Advanced Banach Space Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、完備距離空間 $X$ 上の自由な完全 Wasserstein代数（$p \geq 1$）が、$X$ 上の有限 $p$-階モーメントをもつRadon確率測度の空間であり、$W_p$ 距離と二項凸結合を備えたものであると確立する。この代数が重心的公理とWasserstein条件を満たすことを証明し、定量的代数的枠組みにおける確率的選択の自由代数として特徴づけている。

ABSTRACT

We present an algebraic account of the Wasserstein distances $W_p$ on complete metric spaces, for $p \geq 1$. This is part of a program of a quantitative algebraic theory of effects in programming languages. In particular, we give axioms, parametric in $p$, for algebras over metric spaces equipped with probabilistic choice operations. The axioms say that the operations form a barycentric algebra and that the metric satisfies a property typical of the Wasserstein distance $W_p$. We show that the free complete such algebra over a complete metric space is that of the Radon probability measures with finite moments of order $p$, equipped with the Wasserstein distance as metric and with the usual binary convex sums as operations.

研究の動機と目的

• 完備距離空間 $X$ に対して $p \geq 1$ の $W_p$ 距離を代数的に特徴づけること。
• 非拡張的かつ $W_p$-条件を満たす二項凸結合（確率的選択操作）を公理化すること。
• 有限 $p$-モーメントをもつRadon確率測度の空間が、完備距離空間上の自由な完全 Wasserstein代数をなすことの証明。
• 標準的距離空間と拡張距離空間の間のギャップを、定量的代数的効果理論において埋める。
• 重心的代数と凸空間の間の同値性を、$W_p$-型距離を用いた定量的設定へと拡張すること。

提案手法

• 完備距離空間上での非拡張的二項凸結合 $x +_r y$（$r \in [0,1]$）を備えた重心的代数を公理化する。
• $W_p$ 條件の $p$ 階を定義：$d\left(\sum r_i x_i, \sum r_i x'_i\right)^p \leq \sum r_i d(x_i, x'_i)^p$。
• 完備距離空間 $X$ 上の有限 $p$-モーメントをもつRadon確率測度の空間が、$W_p$ 距離に関して完備であることを証明する。
• Bassoの補題を用いて一般の距離空間を可分な台に還元し、三角不等式および完備性の結果の拡張を可能にする。
• 距離代数の完備化定理を活用し、有限台の測度から $W_p$-完備空間への自由な重心的代数構成を拡張する。
• 自由なWasserstein重心的代数と自由なWasserstein凸空間（$p$ 階）が同値であり、$+_{r}$ のHölder連続性により中点代数へと拡張することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p \geq 1$ に対して、完備距離空間上での $W_p$ 距離と整合する確率的選択操作を特徴づける公理は何か？
• RQ2 このような操作に対する自由な完全代数は何か？ そして、与えられた完備距離空間からどのように構成されるか？
• RQ3 有限 $p$-モーメントをもつRadon測度上の $W_p$ 距離は、重心的代数構造および完備性とどのように関係するか？
• RQ4 自由代数構成を有限台測度から、全 $W_p$-完備なRadon測度空間へと拡張できるか？
• RQ5 完備距離空間設定下で、自由なWasserstein重心的代数と自由なWasserstein中点代数（$p$ 階）との間に同値性があるか？

主な発見

• 完備距離空間 $X$ 上の自由な完全 Wasserstein代数（$p$ 階）は、$X$ 上の有限 $p$-階モーメントをもつRadon確率測度の空間であり、$W_p$ 距離と二項凸結合を備えたものである。
• この空間は $W_p$ に関して完備であり、$X$ が可分でなくても、有限台確率測度によって生成される。
• $W_p$ 距離は三角不等式を満たし、有限 $p$-モーメントをもつRadon測度上で完備であり、可分空間への既知の結果を拡張する。
• 距離空間 $X$ 上の自由な重心的代数は、$X$ 上の有限台確率測度の空間と等長同型であり、その完備化により全 $P_p(X)$ が得られる。
• $x +_r y$ を dyadic 近似の極限として定義する方法は、$r$ における演算のHölder連続性により正当化され、完備性が保証される。
• 任意の完全 Wasserstein 中点代数（$p$ 階）は、一意に完全 Wasserstein 重心的代数（$p$ 階）に拡張可能であり、カテゴリの同値性が確立される。