[論文レビュー] Free convex sets defined by rational expressions have LMI representations

J. William Helton, Scott McCullough|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2012

Functional Equations Stability Results参考文献 8被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、非可換変数における対称行列値有理関数によって定義される自由な凸集合が、有界かつ凸である場合には線形行列不等式（LMI）表現を有することを確立している。主な結果は、記述子実現とその特異点の分析を通じて、従来の多項式LMI表現の結果を有理関数へと拡張したものであり、最小記述子実現がすべての特異点を捉えることにより、このような凸集合がスぺクトラヒーデロン的（spectrahedral）であることを証明している。

ABSTRACT

Suppose p is a symmetric matrix whose entries are polynomials in freely noncommutating variables and p(0) is positive definite. Let D(p) denote the component of zero of the set of those g-tuples X of symmetric matrices (of the same size) such that p(X) is positive definite. By a previous result of the authors, if D(p) is convex and bounded, then D(p) can be described as the set of all solutions to a linear matrix inequality (LMI). This article extends that result from matrices of polynomials to matrices of rational functions in free variables. As a refinement of a theorem of Kaliuzhnyi-Verbovetskyi and Vinnikov, it is also shown that a minimal symmetric descriptor realization r for a symmetric free matrix-valued rational function R in g freely noncommuting variables precisely encodes the singularities of the rational function. This singularities result is an important ingredient in the proof of the LMI representation theorem stated above.

研究の動機と目的

• 非可換変数における行列多項式から行列有理関数への自由凸集合のLMI表現定理を拡張すること。
• 記述子実現を用いて、対称自由有理関数の定義域と特異点を特徴付けること。
• 有界かつ凸である自由有理関数によって定義される自由凸集合が、スペクトラヒーデロン的（すなわち、線形行列不等式の解として表現可能）であることを証明すること。
• 最小記述子実現の理論を精緻化し、それが自由有理関数のすべての特異点を正確に符号化することを示すこと。

提案手法

• 論文は、$ g $ 個の非可換変数における対称自由有理関数を表す記述子実現 $ r(x) = D + C^T(J - L_A(x))^{-1}C $ を用いる。
• 極限定義域 $ \text{Domlim}(r,n) $ を、可逆性集合と隠れた特異点の和集合として定義し、除去可能な特異点を越えての解析接続を保証する。
• 証明は、最小対称記述子実現が、有理関数のすべての特異点（隠れた特異点を含む）を捉えるという、重要な特異点に関する結果に依拠している。
• 著者らは、[HM12]の主要結果を適用する。この結果は、行列多項式によって定義される有界かつ凸な自由集合がLMI表現を有することを述べている。
• 凸かつ有界な自由有理関数集合が、対称ペナルティ $ P(x) = J \oplus \tilde{J} - L_{A \oplus \tilde{A}}(x) $ の可逆性集合のゼロ成分と等しいことを示すことにより、LMI表現が確立される。
• 証明は、経路の持ち上げ（path-lifting）の議論と背理法を用い、凸性が定義域に隠れた特異点を含まないことを示し、集合がスぺクトラヒーデロン的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換変数における有理式で定義される自由凸集合は、線形行列不等式（LMI）で表現可能か？
• RQ2 特異点（特に隠れた特異点）は、自由有理関数の定義域にどのように影響するか？
• RQ3 対称自由有理関数の最小記述子実現は、そのすべての特異点を完全に符号化するか？
• RQ4 自由有理関数集合の凸性が、それがスぺクトラヒーデロン的であることを示すための条件は何か？
• RQ5 行列多項式による自由凸集合のLMI表現結果を有理関数へと拡張可能か？

主な発見

• 非可換変数 $ g $ 個の対称行列値有理関数によって定義される自由凸集合が、有界かつ凸であれば、線形行列不等式（LMI）表現を有する。
• 対称ペナルティ $ P(x) = J \oplus \tilde{J} - L_{A \oplus \tilde{A}}(x) $ の可逆性集合のゼロ成分は、自由有理関数集合 $ \mathfrak{P}_r(n) $ に等しく、これによりそのスぺクトラヒーデロン的性質が確立される。
• 最小対称記述子実現は、元の式に見えない隠れた特異点を含め、対称自由有理関数のすべての特異点を正確に符号化する。
• 自由有理関数集合 $ \mathfrak{P}_r $ の凸性は、その集合が隠れた特異点を含まないことを示し、原点を越えての解析接続を保証する。
• 証明により、$ \mathfrak{P}_r = \mathcal{D}_{I - L_A(x)} $ が成り立ち、あるモニックアフィン線形ペナルティ $ I - L_A(x) $ に対して成立することが示され、LMI表現が確認される。
• この結果は、[HM12]の定理を行列多項式から有理関数へと一般化し、LMI表現を有する自由凸集合のクラスを顕著に拡張している。