[論文レビュー] Free Energies and the Reversed HLS Inequality

José A. Carrillo, Matías G. Delgadino|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、競合するエントロピー項と相互作用項を持つ自由エネルギー関数の直接的変分法を用いて、逆ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ（HLS）不等式を確立する。凝集支配領域 $rac{d}{d+k} < m < 1$, $k > 0$ において、自由エネルギー ${\mathcal{F}}_{m,k}$ が下から有界であり、最小化子が存在することを証明し、最小化子がコンパクトに台を持つ、回転対称で単調減少であることを示す。$m > \frac{d}{d-2}$ のとき、最小化子は有界であり、そうでない場合には凝集が起こり得ることを示す。

ABSTRACT

We prove reversed Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities by carefully studying the natural associated free energies with direct methods of calculus of variations. Tightness is obtained by a dyadic argument, which quantifies the relative strength of the entropy functional versus the interaction energy. The existence of optimizers is shown in the class of $\prob$. With respect to their regularity, we study conditions for optimizers to be bounded functions. In a related model, we show the condensation phenomena, which suggests that optimizers are not in general regular.

研究の動機と目的

• 自由エネルギーの最小化を用いて、凝集支配領域 $m>1-\frac{k}{d}$, $k>0$ における逆ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式を確立すること。
• 自由エネルギー関数 ${\mathcal{F}}_{m,k}$ の最小化子が $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ 上に存在するか、コンパクトに台を持つか、正則性を分析すること。
• 最小化子が有界関数であるか、原点に凝集を示す条件を特定すること、特に高次元における挙動を明らかにすること。
• 異なるパrameter領域における自由エネルギー関数の相図を明確にし、有界性、最小化子の正則性、凝集の有無の領域を区別すること。

提案手法

• 確率測度上での自由エネルギー ${\mathcal{F}}_{m,k}[\rho] = \int \frac{\rho^m}{m-1} dx + \iint \frac{|x-y|^k}{2k} \rho(x)\rho(y) dx dy$ の直接的変分法による最小化。
• ${\mathbb{R}}^d$ を中空領域に二重分割することで、エントロピーと相互作用エネルギーの競合を定量的に評価し、$\frac{d}{d+k} < m < 1$, $k > 0$ の領域で下からの有界性を証明する。
• 対称減少再配分を用いて問題を回転対称測度に簡略化し、モーメントの有界性から最小化列の緊密性を確立する。
• オイラー＝ラグランジュ条件を分析し、最小化子の必要条件を導出し、原点付近での可積分性が凝集の有無を決定することを示す。
• 二重分割の議論を用いて、$m > \frac{d}{d-2}$ のとき、最小化子は有界関数でなければならないことを示し、$d \geq 3$ の次元では凝集が排除されることを示す。
• 強いコンfiningポテンシャルを持つ関連モデルの明示的例を構成することで、$m$ が小さい領域で正則性が失われる現象を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由エネルギー ${\mathcal{F}}_{m,k}$ が $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ 上で下から有界であるための $m$ と $k$ の条件は何か？
• RQ2 凝集支配領域 $\frac{d}{d+k} < m < 1$, $k > 0$ において、${\mathcal{F}}_{m,k}$ の最小化子は存在するか？ また、コンパクトに台を持つか？
• RQ3 ${\mathcal{F}}_{m,k}$ の最小化子が有界関数である条件は何か？ また、原点に凝集が生じる条件は何か？
• RQ4 エントロピーと相互作用エネルギーのスケーリングの相互作用が、異なる次元における最小化子の正則性にどのように影響するか？
• RQ5 自由エネルギーの有界性と最小化から導かれる関数不等式（特に逆HLS不等式）は何か？

主な発見

• 自由エネルギー ${\mathcal{F}}_{m,k}$ は、$\frac{d}{d+k} < m < 1$, $k > 0$ のパrameter領域で下から有界であり、最小値を達成する。これは逆HLS不等式が成り立つことを示唆する。
• $m > 1$ のとき、自由エネルギーは一意にコンパクトに台を持つ最小化子を持ち、それは滑らかで回転対称かつ単調減少である。
• $m > \frac{d}{d-2}$ のとき、最小化子は有界関数であり、$d \geq 3$ の次元では原点に凝集が起こらない。
• $d \geq 3$ の次元では、$m$ が $\frac{d}{d+k}$ に近いか、$k$ が大きい場合、凝集が生じ得る。コンフィニングポテンシャルを伴う例を構成することで、その可能性を示した。
• ${\mathcal{F}}_{m,k}$ の最小化子は、逆HLS不等式の最適化子と等価であり、特殊ケースとして既知の結果が回復される。
• $m < \frac{d}{d+k}$ のとき、自由エネルギーは下から有界ではなく、ある $\rho \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ に対して $\mathcal{F}_{m,k}[\rho] = -\infty$ となる。これは二重分割による構成で示された。