[論文レビュー] Free field realizations in representation theory and conformal field theory

Edward Frenkel|ArXiv.org|Aug 18, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、アフィンカク＝ムーディ代数およびW代数における自由場実現の包括的レビューを提示し、自由ボソンおよびフェルミオンを用いた表現の構成に向けた強力な手法を提供する。主な貢献は、これらの実現を通じて表現論と conformal field theory (CFT) を結びつける体系的な枠組みを提供することであり、2次元CFTおよび可積分系における明示的計算と構造的洞察を可能にする。

ABSTRACT

Invited lecture at the International Congress of Mathematicians, Zuerich, August 3-11, 1994 (extended version), reviews free field realizations of affine Kac-Moody and W-algebras and their applications.

研究の動機と目的

• アフィンカク＝ムーディ代数およびW代数における自由場実現の理論を体系化し、レビューすること。
• 自由場を用いた明示的構成を通じて、表現論と conformal field theory (CFT) を結びつけること。
• 2次元CFTにおける無限次元代数の構造と表現を理解するための統一的枠組みを提供すること。
• これらの実現が可積分系および相関関数の問題解決に与える応用を強調すること。
• ICM 1994の講演シリーズに続く、数学的物理および表現論の研究者にとっての権威ある参考文献としての役割を果たすこと。

提案手法

• アフィンカク＝ムーディ代数およびW代数の生成子を実現するために、自由ボソンおよびフェルミオンを基本的構成要素として用いる。
• 頂点 operator 代数およびスクリーニング作用素を用いて、インターウェーブイング作用素および相関関数を構成する。
• アフィンリー代数における自由場実現の主要な例として、ワキモト実現を用いる。
• ハミルトニアン還元を用いて、ドリンフェルド＝ソコロフ還元によりW代数をアフィンカク＝ムーディ代数と関連付ける。
• ミウラ変換を用いて、自由場実現とW代数構造の間の直接的な関係を確立する。
• スクリーニング電荷の方法を用いて、フォック空間における特異ベクトルおよび特徴式を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてアフィンカク＝ムーディ代数をボソンやフェルミオンなどの自由場の観点から実現できるか？
• RQ2 スクリーニング作用素は、 conformal field theory における表現および相関関数の構成において果たす役割は何か？
• RQ3 ワキモト実現は、アフィンリー代数に対してどのように具体的な自由場実現を提供するか？
• RQ4 ハミルトニアン還元によって、W代数はアフィンカク＝ムーディ代数からどのようにして導かれるか？
• RQ5 自由場実現は、フォックモジュールにおける特徴式および特異ベクトルの計算にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 自由場実現は、自由場から構成されるフォック空間を用いた、アフィンカク＝ムーディ代数およびW代数の表現を構成する強力な計算的ツールを提供する。
• ワキモト実現は、自由ボソンおよびフェルミオンを用いてアフィンカク＝ムーディ代数を明示的に実現し、代数の非コンパクトで明示的な実現を提供する。
• 自由場表現におけるスクリーニング作用素は、コhomological 方法を用いた特異ベクトルの構成および特徴式の計算を可能にする。
• ミウラ変換は、W代数と微分作用素の行列式の間の直接的な関係を確立し、明示的な自由場実現を可能にする。
• ドリンフェルド＝ソコロフ手順によるハミルトニアン還元により、アフィンカク＝ムーディ代数からW代数が得られ、このプロセスは自由場実現と両立する。
• この枠組みにより、特に最小模型およびW-N最小模型において、2次元CFTにおける相関関数および特徴式の明示的計算が可能になる。