[論文レビュー] Free-Field Resolutions of the Unitary N=2 Super-Virasoro Representations

Boris Feigin, A. M. Semikhatov|ArXiv.org|Oct 8, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

この論文はフェルミオン的スクリーニング作用素を用いて、ユニタリ N=2 スーパーリーマン代数表現の自由場解像を構築する。重力的後継者に関連する1つのフェルミオン的スクリーニングに起因する線形両側解像と、2つの可換なフェルミオン的スクリーニングを用いた新規のバタフライ型解像を導入し、両者ともコホモロジーとして正しいユニタリ表現を生じることを証明する。

ABSTRACT

We construct free-field resolutions of unitary representations of the N=2 superconformal algebra. The irreducible representations are singled out from free-field spaces as the cohomology of fermionic screening operators. We construct and evaluate the cohomology of the resolution associated with one fermionic screening (which is related to the representation theory picture of ``gravitational descendants''), and a {\it butterfly} resolution associated with two fermionic screenings.

研究の動機と目的

• ユニタリ N=2 スーパーリーマン代数表現の自由場解像を構築するというギャップを埋めること、これは以前に明示的に書かれたことがなかった。
• Landau-Ginzburg モデルやボソン化の文脈において、自由場実現におけるフェルミオン的スクリーニング作用素のコホモロジーとしてユニタリ表現を実現すること。
• 2つの可換なフェルミオン的スクリーニングから生じる新規のバタフライ型解像構造を導入し、その解析を行うこと。
• Wakimoto ボソン化とスペクトルフローを介して、N=2 解像と $σρ(2)$ 代数の類似物との間の関係を確立すること。
• 構築された解像のコホモロジーが、条件 $γ^{p-1}=0$ を満たすことにより、正確にユニタリ N=2 表現を再現することを示すこと。

提案手法

• bc および $\beta\gamma$ ゴースト系を用いた自由場実現を行い、$N=2$ 代数をゴースト場によって実現する。
• 1つのフェルミオン的スクリーニング作用素を用いて、$\widehat{\mathfrak{sl}}(2)$ 解像に類似した線形両側解像を定義するが、$\widehat{\mathfrak{sl}}(2) \leftrightarrow N=2$ に対応関係においては同等でない。
• 2つの可換なフェルミオン的スクリーニングを含む第二の自由場実現を導入し、二重の翼を持つ新規のバタフライ解像を生じさせる。
• スペクトルフロー変換を適用してねじれたモジュールを生成し、解像のコホモロジーを解析することで、得られる表現がユニタリであることを保証する。
• 解像を $\widehat{\mathfrak{sl}}(2)$ のWakimoto ボソン化に写像し、$N=2$ 解像がこの対応関係においてねじれたモジュールに対応することを示す。
• コホモロジーが定義的条件 $\partial^{p-2}\mathcal{G}(z)\cdots\mathcal{G}(z) = 0$ を満たすことを検証し、得られる表現のユニタリティを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ N=2 スーパーリーマン代数表現の自由場解像を体系的に構築するにはどうすればよいか？
• RQ2 フェルミオン的スクリーニング作用素を1つだけ用いた場合の解像の構造は何か？ また、重力的後継者とどのように関係するか？
• RQ3 2つの可換なフェルミオン的スクリーニングを用いて、特にバタフライ型の新規解像構造を構築できるか？
• RQ4 スペクトルフロー変換は、これらの解像におけるモジュール構造とコホモロジーにどのように影響を与えるか？
• RQ5 Wakimoto ボソン化を介して、構築された N=2 解像と、既知の $\widehat{\mathfrak{sl}}(2)$ 代数における解像との対応関係は何か？

主な発見

• 1つのフェルミオン的スクリーニング作用素を用いた線形両側自由場解像が構築され、重力的後継者の表現理論的図式に対応する。
• 2つの可換なフェルミオン的スクリーニングから生じる新規のバタフライ解像が導入され、二重の翼を持つ構造は、N=2 表現の文脈において新規な特徴である。
• 両解像のコホモロジーが、条件 $\gamma^{p-1} = 0$ をコホモロジー空間で満たすことにより、正しいユニタリ N=2 スーパーリーマン代数表現を生じることが証明された。
• 解像はスペクトルフローによるねじれたモジュールに関係しており、ユニタリ表現の完全な集合は、長さ $p$ または $p/2$ のスペクトルフロー軌道によって得られる。
• 1つのフェルミオン的スクリーニングを用いた N=2 解像は、既知の $\widehat{\mathfrak{sl}}(2)$ 解像の $\widehat{\mathfrak{sl}}(2) \leftrightarrow N=2$ 対応関係による像ではないが、むしろねじれたモジュールに対応する。
• 2フェルミオンスクリーニング解像は $s\ell(2|1)_q$-ペア構造の特別な場合に対応し、より一般の三ボソン実現フレームワークの特別なケースであることが示された。