[論文レビュー] Free Fractions: An Invitation to (applied) Free Fields

Konrad Schrempf|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2018

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換有理関数（自由分数）を扱う計算フレームワークを提示する。アドミッサブル線形系（ALS）を表現手段として用い、加法、乗法、逆数、最小化のためのアルゴリズムを導入することで、自由体における有効な操作と同値性のテストを可能にする。主な貢献は、非可換有理関数における語の問題（word problem）に対する実用的でアルゴリズム的なアプローチである。

ABSTRACT

Long before we learn to construct the field of rational numbers (out of the ring of integers) at university, we learn how to calculate with fractions at school. When it comes to "numbers", we are used to a commutative multiplication, for example 2*3=6=3*2. On the other hand --even before we can write-- we learn to talk (in a language) using words, consisting of purely non-commuting "letters" (or symbols), for example "xy" is not equal to "yx" (with the concatenation as multiplication). Now, if we combine numbers (from a field) with words (from the free monoid of an alphabet) we get non-commutative polynomials which form a ring (with "natural" addition and multiplication), namely the free associative algebra. Adding or multiplying polynomials is easy, for example (2/3*xy+z)+1/3*xy=xy+z or 2*x(yx+3*z)=2*xyx+6*xz. Although the integers and the non-commutative polynomials look rather different, they share many properties, for example the unique number of irreducible factors: x(1-yx)=x-xyx=(1-xy)x. However, the construction of the universal field of fractions (aka "free field") of the free associative algebra is highly non-trivial (but really beautiful). Therefore we provide techniques (building on the work of Cohn and Reutenauer) to calculate with free fractions (representing elements in the free field or "skew field of non-commutative rational functions") to be able to explore a fascinating non-commutative world.

研究の動機と目的

• 応用研究者やコンピュータ代数ユーザー向けに、自由体と非可換有理関数について実用的でアクセスしやすい紹介を提供すること。
• 自由体における語の問題に取り組み、自由分数の同値性テストのためのアルゴリズム的手法を開発すること。
• 非可換有理関数の線形表現を最小化する体系的な手法を提示し、正規形を保証すること。
• コーンとルーテナウアーの理論に基づく構造化されたアルゴリズムを通じて、コンピュータ代数システムへの実装を可能にすること。
• 非可換有理関数の抽象代数学的構成と、具体的な計算ツールとの間のギャップを埋めること。

提案手法

• 可逆な $ A $ を持つ $ As = v $ の形の線形系により、自由体の要素をアドミッサブル線形系（ALS）として表現する。この系は有理関数を符号化する。
• ピボットブロックを備えたブロック構造のALS行列を用い、非可換有理式を符号化し、算術演算を可能にする。
• 線形的に従属する成分を削除し、系のサイズを縮小するために、可逆変換 $ (P, Q) $ を用いた左および右の最小化ステップを適用する。
• 2段階の最小化アルゴリズムを採用する：まず左家族 $ s $ の線形従属性をチェックし、その後右家族 $ t $ をチェックする。正しく最小化が行われるように、カウンタの更新を保証する。
• 有理関数の代表元として、解ベクトル $ s_1 $ の最初の成分を用いる。ここで $ s_1 = u^T A^{-1} v $ であり、$ u = e_1^T $ である。
• 過去のアルゴリズムに見られる欠陥を是正する。$ k = m > 2 $ の場合、左最小化に成功した後にカウンタ $ k $ をデクリメントすることで、すべてのケースで最小性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換有理関数は、アルゴリズム的計算に適した方法でどのように効果的に表現・操作できるか？
• RQ2 非可換有理関数の最小線形表現とは何か？ そして、それをアルゴリズム的にどのように計算できるか？
• RQ3 2つの自由分数が同じ要素を表すかどうかを効率的に判定する語の問題は、どのように解決できるか？
• RQ4 すべてのケースで正しく最小化されるように、既存の最小化アルゴリズムにどのような修正が必要か？
• RQ5 自由体の理論を、コンピュータ代数システムに実装可能でアクセスしやすい形にどのようにして構築できるか？

主な発見

• 本稿では、アドミッサブル線形系の最小化を正しくかつ完全に実行するアルゴリズムを確立した。過去の研究には最小性が保証されないエッジケースが存在したが、その欠陥を是正した。
• $ ff^{-1} = 1 $ の最小ALSは $ (1, [1], 1) $ に一致し、最小化プロセスの正しさが裏付けられた。
• 変換 $ (P, Q) $ を用いることで、従属成分を削除し、系のサイズを縮小しつつ、最初の成分 $ s_1 $ の値を保存できる。
• 左家族 $ s $ が $ bK $-線形従属であるとは、$ t^T A = 0 $ に対して非自明な解が存在することを意味する。これは線形系を解くことでテスト可能である。
• 右家族 $ t $ が $ bK $-線形従属であるとは、$ A^T t = 0 $ に対して解が存在することを意味する。同じテストを転置系に適用する。
• FDALGパッケージ（リリース1.3.5以降）への実装により、コンピュータ代数システムへの統合可能性が実証された。