[論文レビュー] Free group $C^*$-algebras associated with $\ell_p$

Rui Okayasu|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$p \geq 2$ における $\ell_p$ に基づく $C^*$-代数に対して、ハーガープの自由群上の正定値関数の特徴付けを一般化し、これらの代数が互いに同型でないことを示し、各々が一意なトレース状態をもつことを証明する。特徴付けは、$\ell_p$-ノルムにおける正定値関数の減衰率に依存し、既知の結果（$p=2$ のときの縮小群 $C^*$-代数）を拡張し、$D_p^\pm$-完備化と同型であることを確立する。

ABSTRACT

For every $p\geq 2$, we give a characterization of positive definite functions on a free group with finitely many generators, which can be extended to the positive linear functionals on the free group $C^*$-algebra associated with the ideal $\ell_p$. This is a generalization of Haagerup's characterization for the case of the reduced free group $C^*$-algebra. As a consequence, the associated $C^*$-algebras are mutually non-isomorphic, and they have a unique tracial state.

研究の動機と目的

• 自由群上の正定値関数のハーガープの特徴付けを、$p \geq 2$ における $\ell_p$ に関連する $C^*$-代数へと拡張し、$p=2$ のときの既知の結果（縮小群 $C^*$-代数）を一般化すること。
• すべての $p \geq 2$ に対して $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ が互いに同型でないことを確立すること。
• $p \in [2, \infty)$ に対して、各 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ が一意なトレース状態をもつことを証明すること。
• $C^*$-代数 $C^*_{D_p^\pm}(\mathbb{F}_d)$ と $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ が一致することを示すこと。

提案手法

• 自由群 $\mathbb{F}_d$ 上の正定値関数が $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ に正線形関数として拡張可能であるための特徴付けを、$\ell_p$-ノルムにおける減衰条件を用いて提示する。
• ホルダーの不等式を適用し、自由群における共役類の成長に関する推定を用いて、正定値関数の $\ell_p$-ノルムの上界を求める。
• $\mathbb{F}_d$ における語長と共役類の構造を用いて、非自明な共役類 $K$ に対して $W_{k+2n} \cap K$ に属する要素の数の下界を導出し、指数関数的成長を示す。
• $p$ に近い $q$ に対する $\ell_q$-関数による $\ell_p$-関数の近似を用いて、$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ と $C^*_{D_p^\pm}(\mathbb{F}_d)$ の間の同型を確立する。
• $\beta \to 1$ のとき、近似関数 $\varphi\varphi_\beta$ が弱-*位相で $\varphi$ に収束することを用い、$C^*_{\ell_p}$-関数への拡張を保証する。
• ブラウンとゲンツナーによる $\ell_\infty(\Gamma)$ 内の理想による $C^*$-完備化に関する既知の結果、特に可解性とハーガープ性の特徴付けを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由群 $\mathbb{F}_d$ 上のどの正定値関数が、$p \geq 2$ に対して $C^*$-代数 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ に正線形関数として拡張可能か？
• RQ2 $p \in [2, \infty]$ に対して、$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ は互いに同型でないか？
• RQ3 $p \in [2, \infty)$ に対して、各 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ は一意なトレース状態をもつか？
• RQ4 理想 $D_p^\pm(\Gamma) = \bigcap_{\varepsilon>0} \ell_{p+\varepsilon}(\Gamma)$ および $\bigcup_{\varepsilon>0} \ell_{p-\varepsilon}(\Gamma)$ に関連する $C^*$-代数と $\ell_p(\Gamma)$ に関連する代数の関係は何か？

主な発見

• すべての $p \geq 2$ に対して、$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ は $C^*_{D_p^+}(\mathbb{F}_d)$ に同型であり、$D_p^+(\Gamma) = \bigcap_{\varepsilon>0} \ell_{p+\varepsilon}(\Gamma)$ である。これは、指数 $p$ よりわずかに大きい値への小さな摂動に対しても完備化が安定していることを示している。
• すべての $p > 2$ に対して、$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ は $C^*_{D_p^-}(\mathbb{F}_d)$ に同型であり、$D_p^-(\Gamma) = \bigcup_{\varepsilon>0} \ell_{p-\varepsilon}(\Gamma)$ である。これは、指数 $p$ よりわずかに小さい値への小さな減少に対しても安定していることを示している。
• $p \in [2, \infty]$ に対して、$C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ は互いに同型でない。これは、正定値関数が $C^*_{\ell_p}$-関数へ拡張可能であるための異なる減衰条件が要求されることに起因する。
• $p \in [2, \infty)$ に対して、各 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ は一意なトレース状態をもつ。これは、任意のトレース状態が共役類上で定数となる正定値関数に対応するが、それが $\ell_p$ に属するのはゼロ関数に限るためであり、正規化条件に反する。
• 全群 $C^*$-代数 $C^*(\mathbb{F}_d)$ は $C^*_{D_\infty^-}(\mathbb{F}_d)$ に同型であり、$D_\infty^-(\Gamma) = \bigcup_{\varepsilon>0} \ell_{\infty - \varepsilon}(\Gamma)$ である。これは、既知の同型 $C^*_{\lambda}(\mathbb{F}_d) = C^*_{D_2^+}(\mathbb{F}_d)$ を拡張する。
• $\mathbb{F}_d$ 上の拡張可能な正定値関数の特徴付けは、$p=2$ のときのハーガープの結果の厳密な一般化であり、$\varphi \in \ell_p$ であるための必要十分条件として、$|\varphi(s)| \lesssim \alpha^{|s|}$（$\alpha < (2d-1)^{-1/p}$）という減衰率が得られる。