[論文レビュー] Free Probability for Pairs of Faces II: 2-Variables Bi-free $R$-Transform and Systems with Rank $\le 1$ Commutation

Dan-Virgil Voiculescu|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、左変数と右変数の間にランク ≤ 1 の交換関係をもつ系において、二自由加法的畳み込みの計算を可能にする二変数部分 $R$-変換を導入する。二バンドモーメントとコマリューラントの生成関数の関係を確立し、ハイポノルマル作用素および自由エントロピー理論における双対系のモーメント問題を解く。

ABSTRACT

We compute the generating series for the simplest class of bi-free cumulants, beyond free cumulants, the two-bands bi-free cumulants of a pair of a left and a right variable. We also consider two-faced systems with a commutation condition implying that two-bands moments, that is expectation values of the product of a monomial of left and a monomial of right variables determine the other moments. Examples include hyponormal operators, dual systems in free entropy theory and bi-partite systems.

研究の動機と目的

• 左変数と右変数の間に非自明な交換関係をもつ二面的系への自由確率論の拡張を図ること。
• 二バンドモーメント $\varphi(LR)$ によって決定されるモーメントを持つ系における二自由加法的畳み込みの計算という課題に取り組むこと。
• 一つの左変数と一つの右変数に対して、$R$-変換の道具立てを二自由設定に一般化すること。
• ハイポノルマル作用素や自由エントロピー理論における双対系を含む、ランク ≤ 1 の交換子をもつ系を特徴付けること。
• 混合二自由コマリューラントが消えることと、左側と右側の独立性が古典的独立性に対応することの関係を確立すること。

提案手法

• 二バンドモーメントの二変数生成関数と二バンドコマリューラントの部分 $R$-変換との間の生成関数関係を導出する。
• ハーガップの証明技法を一変数の場合から二自由設定へ適応し、作用素論的道具を活用する。
• 第I部で得られた二自由コマリューラントの道具立てを用いて、混合左-右インデックス列のコマリューラントを定義・計算する。
• 部分 $R$-変換を用いて、ランク ≤ 1 の交換関係をもつ系における加法的二自由畳み込みを計算する。
• このような系が二自由加法を施したときの挙動を分析し、畳み込みに関して閉じていることを示す。
• 多重同次性とコマリューラントの加法性を用いて、混合二自由コマリューラントの消滅が古典的独立性を特徴付けることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一つの左変数と一つの右変数に対して、$R$-変換の道具立てをどのように二自由設定に一般化できるか。
• RQ2 二自由確率論において、二バンドモーメントの生成関数と二バンドコマリューラントの生成関数との間の関数的関係は何か。
• RQ3 左変数と右変数の間にランク ≤ 1 の交換関係をもつ系は、二自由加法を施したときにどのように振る舞うか。
• RQ4 ハイポノルマル作用素や双対系などのクラスの作用素は、どのような条件下で二バンドモーメント条件を満たし、閉形式の二自由畳み込みを許容するか。
• RQ5 二自由コマリューラントの観点から、左側と右側のフェースが古典的に独立であるための正確な条件は何か。

主な発見

• 二変数部分 $R$-変換が導出され、二バンドモーメントの生成関数と二バンドコマリューラントの生成関数との間の関数方程式を提供する。
• 部分 $R$-変換により、ランク ≤ 1 の自己交換子をもつハイポノルマル作用素から生じる分布の二自由加法的畳み込みを明示的に計算可能となる。
• ランク ≤ 1 の交換関係をもつ系、特に自由エントロピー理論における双対系や二部系は、すべて二バンドモーメントによって完全に決定されることを示した。
• 第I部で得られた二自由ガウス系が、ランク ≤ 1 の交換関係条件を満たすことが示され、その適用範囲が拡張された。
• 左側と右側のフェースの古典的独立性は、左と右のインデックスを混合するすべての二自由コマリューラントが消えることによって特徴付けられる。
• 二自由加法は、ランク ≤ 1 の交換関係をもつ系のクラスを保ち、このような分布に関して畳み込みについて閉じていることが保証される。