[論文レビュー] Free spaces over some proper metric spaces

Aude Dalet|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、可算な固有距離空間上のリプシッツ自由空間が等長的に双対空間に同型であり、メトリック近似性質（MAP）を有することを確立する。固有非アーベル距離空間の場合、さらにリプシッツ自由空間が $c_0(\bbN)$ に同型な空間の双対に等長同型であることを証明し、明確な前双対構造を提供するとともに、このクラスの空間におけるMAPの成立を確認する。

ABSTRACT

We prove that the Lipschitz-free space over a countable proper metric space is isometric to a dual space and has the metric approximation property. We also show that the Lipschitz-free space over a proper ultrametric space is isometric to the dual of a space which is isomorphic to c_0.

研究の動機と目的

• 可算な固有距離空間上のリプシッツ自由空間の線形構造を特定すること。
• このような空間がメトリック近似性質（MAP）を有するかどうかを調査すること。
• 固有非アーベル距離空間上のリプシッツ自由空間を特徴づけ、特にその双対性および近似性質を明らかにすること。
• 非アーベル距離空間の場合に、$c_0(\bbN)$ に同型な前双対の存在を確立すること。

提案手法

• 距離空間のリプシッツ商空間において、無限遠で消える関数からなる $S \subset \mathrm{lip}_0(M)$ を、遠く離れた点対における差の減衰条件によって定義する。
• ペトゥニーンとプリチコの双対定理を適用する。この定理は、$\mathcal{F}(M)^*$ の部分空間が点を分離し、ノルムを達成する汎関数からなる場合、$\mathcal{F}(M)$ がその双対に等長同型であることを述べる。
• 固有距離空間における閉球のコンパクト性を用いて、$S$ が $\mathrm{NA}(\mathcal{F}(M))$、すなわちノルムを達成する汎関数の集合の部分空間であることを証明する。
• 距離空間の輪状領域 $C_{j,k}$ に $\varepsilon$-ネットを構成し、写像 $T: S \to c_0(F)$ を定義することで、$S$ が $c_0(\bbN)$ の部分空間に $(1+\varepsilon)$-等長同型であることを示す。
• 非アーベル距離空間の場合、関数 $h$ を構成することで、$S$ が点を一様に分離することを示す。この関数 $h$ は一様有界なリプシッツ定数を持ち、$|h(x)-h(y)| = d(x,y)$ を満たす。
• 一様分離性とノルム達成性を組み合わせ、双対定理を適用し、結論として $\mathcal{F}(M) \cong S^*$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算な固有距離空間上のリプシッツ自由空間は、双対空間に等長同型であるか？
• RQ2 固有非アーベル距離空間上のリプシッツ自由空間は、$c_0(\bbN)$ に同型な前双対を有するか？
• RQ3 可算な固有距離空間上のリプシッツ自由空間は、メトリック近似性質（MAP）を有するか？
• RQ4 固有距離空間の場合に、$M$ 上の徐々に変化する関数の空間 $S$ は、$\mathcal{F}(M)$ の前双対として機能するか？

主な発見

• 可算な固有距離空間 $M$ 上のリプシッツ自由空間 $\mathcal{F}(M)$ は、無限遠での減衰条件を満たす $\mathrm{lip}_0(M)$ の関数からなる空間 $S$ に対して、等長的同型 $\mathcal{F}(M) \cong S^*$ に同型である。
• 固有空間における閉球のコンパクト性と、コンパクト集合上でリプシッツノルムが達成されることを用いて、空間 $S$ は $\mathrm{NA}(\mathcal{F}(M))$ の部分集合であることが示される。
• 固有非アーベル距離空間の場合、$\mathcal{F}(M)$ は $c_0(\bbN)$ に同型な空間の双対に等長同型であり、これは一様に分離する部分空間 $S$ を通じて達成される。
• 非アーベル距離空間の場合、関数 $h$ を $|h(x)-h(y)| = d(x,y)$ かつ一様有界なリプシッツ定数を持つように構成することで、$S$ が点を一様に分離することが示された。
• 写像 $T: S \to c_0(F)$ を $f \mapsto \left(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{d(x_1,x_2)}\right)_{(x_1,x_2)\in F}$ で定義すると、これは $\varepsilon$-等長写像となり、$S$ が $c_0(\bb{N})$ の部分空間に $(1+\varepsilon)$-等長同型であることを示す。
• その結果、可算な固有距離空間および固有非アーベル距離空間の両方において、$\mathcal{F}(M)$ はメトリック近似性質（MAP）を有する。