[論文レビュー] Free subalgebras of division algebras over uncountable fields

Jason P. Bell, D. Rogalski|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特性0の非可算な代数的に閉じた体上の単位的代数的領域が、すべての極大部分体上で左代数的でない限り、2生成元の自由k代数を含むことを確立する。主な結果は、GK次元が3未塔である有限生成領域で、多項式恒等式を満たさないものについては、その商除法体がこのような自由部分代数を含むことである。これは低GK次元設定における自由部分代数予想の主要なケースを解決する。

ABSTRACT

We study the existence of free subalgebras in division algebras, and prove the following general result: if $A$ is a noetherian domain which is countably generated over an uncountable algebraically closed field $k$ of characteristic 0, then either the quotient division algebra of $A$ contains a free algebra on two generators, or it is left algebraic over every maximal subfield. As an application, we prove that if $k$ is an uncountable algebraically closed field and $A$ is a finitely generated $k$-algebra that is a domain of GK-dimension strictly less than 3, then either $A$ satisfies a polynomial identity, or the quotient division algebra of $A$ contains a free $k$-algebra on two generators.

研究の動機と目的

• 非可算な代数的に閉じた体上のGK次元が3未塔である領域について、自由部分代数予想を解決すること。
• 中心化子と代数的性を用いて、除法体が2生成元の自由k代数を含むかどうかの基準を確立すること。
• 自由部分代数が存在しないことは、すべての極大部分体上で代数的であることを示し、Kurosh問題とPI条件に結びつけること。
• Ore拡張とWeyl代数に関する先行結果を、より広いクラスのネーター的領域へと拡張すること。
• 特に低GK次元において、有限生成領域の商除法体が自由部分代数を含むための明快で一般的な条件を提示すること。

提案手法

• 先行研究の基準（補題4.9）を用いる：除法体Dが非ゼロ元aの中心化子に対して左または右代数的でない限り、Dは2生成元の自由k代数を含む。
• 主要な技術的道具を適用する：非可算体上で、Dが自由部分代数を含むことと、D(t)（tは可換不定元）が自由部分代数を含むことは同値である。
• GK次元の議論を用いて代数的性を除外する：Q(A)がk(x)上で代数的であれば、dim_k(U^{2n})の成長が速くなり、GKdim < 3に反する。
• D(t)がE(t) = C(x; D(t))に対して代数的でないならば、D(t)はトランスセンドェンス度2の体上で有限次元であるため、PIとなるが、これは非PI仮定に反する。
• 正標数におけるWeyl代数に関する結果を適用する：xux⁻¹ = u+1 ならば、xとuで生成される部分代数はWeyl代数に同型であり、Q(A)がQ(R)上で有限次元であることを示し、PIとなる。
• 補題3.5を用いてD(t)からの代数的性をDへと移す。補題2.8を用いてDとD(t)における中心化子の関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可算体上のネーター的領域の商除法体が、2生成元の自由k代数を含む条件は何か？
• RQ2 GK次元が3未塔である領域について、自由部分代数予想を検証できるか？
• RQ3 中心化子および極大部分体における代数的性が、自由部分代数の存在を妨げる役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ4 正標数において、xux⁻¹ = u+1 が解を持たない場合、Q(A)がPIでないことを保証するのはいつか？
• RQ5 底体の非可算性が、DとD(t)間のより強い転送結果を可能にする仕組みは何か？

主な発見

• kを特性0の非可算な代数的に閉じた体とする。Aがk上可算生成のネーター的領域であれば、Q(A)は2生成元の自由k代数を含むか、あるいはすべての極大部分体上で左代数的である。
• k代数Aが有限生成でGK次元が3未塔であり、Aが多項式恒等式を満たさない場合、Q(A)は2生成元の自由k代数を含む。
• 正標数においても、同様の結論が成り立つ。ただし、任意の超越的元x ∈ Aに対してxux⁻¹ = u+1を満たすuが存在しない場合に限る。
• Weyl代数の場合は特別な場合として回復される：その商除法体は自由部分代数を含み、Makar-Limanovの元々の結果と整合的である。
• GK次元 < 3 であるがPIでない領域Aに対して、その商除法体はいかなる極大部分体に対しても代数的にはなり得ず、したがって自由部分代数を含む。
• 代数的性をk(x)上で仮定すると、dim_k(U^{2n})の成長が(n+2 choose 2)·n以上になるため、GKdim < 3に反する。