[論文レビュー] Free subalgebras of quotient rings of Ore extensions

Jason P. Bell, D. Rogalski|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非可算な基底体上の体のオーレ拡張に対して、商除法体が基底体上2生成元の自由代数を含むか、それとも局所的にPI（任意の有限生成部分代数が多項式恒等式を満たす）であるかのいずれかであることを確立している。主な結果は、非可算体上のアフィンPIドメインの反復オーレ拡張に関して、自由部分代数予想を解決し、その商体がPIであるか、2生成元の自由部分代数を含むことを示している。

ABSTRACT

Let $K$ be a field, let $σ$ be an automorphism of $K$, and let $δ$ be a derivation of $K$. We show that if $D$ is one of $K(x;σ)$ or $K(x;δ)$, then $D$ either contains a free algebra over its center on two generators, or every finitely generated subalgebra of $D$ satisfies a polynomial identity. As a corollary, we are able to show that the quotient division ring of any iterated Ore extension of an affine domain satisfying a polynomial identity either again satisfies a polynomial identity or it contains a free algebra over its center on two variables.

研究の動機と目的

• 体のオーレ拡張の商除法体が、基底体上2生成元の自由部分代数を含む条件を特定すること。
• 非可換環論における広範な自由部分代数予想、特にオーレ拡張から生じる除法体に対して取り扱うこと。
• マカール＝リマノフの手法を拡張し、斜多項式環における自由部分代数の存在の十分条件を確立すること。
• 非可算体上のアフィンPIドメインの反復オーレ拡張の商除法体が、自由部分代数予想を満たすことを証明すること。

提案手法

• 著者らは、$K$ が非可算な基底体 $k$ の拡張であるとき、$K(x;\sigma)$ もしくは $K(x;\delta)$ の形をした除法体において、2生成元の自由部分代数が存在するための新しい基準を開発した。ここで $\sigma$ は $k$-自己同型、$\delta$ は $k$-微分である。
• 彼らはマカール＝リマノフの元来の手法を用い、$\sigma$-軌道のダイナミクスと、$\delta$-微分が体拡張上でどのように作用するかを分析するために適応した。
• 証明は、$K$ が無限大の $\sigma$-軌道を持つ元を含むか、あるいは $\delta$ が大きな部分体上で非自明に作用するかを分析することに依存している。
• 彼らは、自動的かつ微分を含む一般のオーレ拡張を、変数変換を用いて純粋な自己同型または純粋な微分のケースに還元した。この還元は、このような環が $D[x';\sigma']$ もしくは $D[x';\delta']$ に同型であることを示す補題に基づいている。
• 著者らは、この結果を帰納的に反復オーレ拡張に適用し、非可算体上のアフィンPIドメインの反復オーレ拡張の商除法体が、多項式恒等式を満たすか、2生成元の自由部分代数を含むことを証明した。
• 彼らは、除法体が2生成元の自由部分代数を含むことと、それが局所的にPIでないことが同値であることを使い、この条件が無限大の $\sigma$-軌道を持つ元の存在、または非自明な $\delta$-作用の存在に同値であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底体 $k$ が非可算であるとき、$K(x;\sigma)$ の商除法体が、2生成元の自由 $k$-部分代数を含む条件は何か？
• RQ2 $K(x;\delta)$ が2生成元の自由部分代数を含むのはいつか？ そしてこれは微分 $\delta$ の構造とどのように関係するか？
• RQ3 非可算体上のアフィンPIドメインの反復オーレ拡張に関して、自由部分代数予想は真か？
• RQ4 基底体上での自己同型または微分のダイナミクスによって、商除法体に自由部分代数が存在するかどうかを特徴づけられるか？
• RQ5 局所的にPIである性質と、オーレ拡張の商体における自由部分代数の存在との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 非可算な基底体 $k$ に対する体拡張 $K/k$ に対して、$K(x;\sigma)$ が2生成元の自由 $k$-部分代数を含むことは、$K$ が無限大の $\sigma$-軌道を持つ元を含むことと同値である。
• 商除法体 $K(x;\delta)$ が2生成元の自由部分代数を含むことは、それが局所的にPIでないことに同値であり、これは $\delta$ が $K$ の十分大きな部分体上で非ゼロであるときに正確に成立する。
• 基底体 $k$ が非可算であるとき、$K$ を $k$ の体拡張とする。このとき $K(x;\sigma)$ が局所的にPIでないことは、$K$ が無限大の $\sigma$-軌道を持つ元を含むことと同値である。
• 非可算体上のアフィンPIドメインの反復オーレ拡張の商除法体は、自由部分代数予想を満たす。つまり、それはPIであるか、中心上2生成元の自由部分代数を含む。
• 著者らは、自己同型と微分を両方持つ任意のオーレ拡張が、変数変換により純粋な自己同型または純粋な微分拡張に同型であることを証明した。これにより、2つの主要なケースに還元可能であることが示された。
• 本論文は、すべてのこのような環が局所的にPIであるという考えに反する反例を提供している。$K = \mathbb{F}_p(x_0,x_1,\dots)$ で $\delta(x_i) = x_{i+1}$ とすると、$K(x;\delta)$ は $\mathbb{F}_p$ 上2生成元の自由代数を含む。