[論文レビュー] Free-Surface Hydrodynamics in the conformal variables

В. Е. Захаров, Alexander Dyachenko|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2012

Fluid dynamics and aerodynamics studies参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次元非圧縮性理想流体の自由表面流動を、共形写像と共形変数におけるハミルトニアン形式を用いて定式化する。解析的共形写像により流体領域を下側半平面上に変換することで、表面形状および速度ポテンシャルの正確で簡略化された時間発展方程式が導出され、写像の解析的構造に関連する新しい運動積分が明らかになる。この手法により、効率的な数値シミュレーションが可能となり、弱非線形かつほぼ平面表面の極限ではホフ方程式に帰着する。

ABSTRACT

The potential flow of two-dimensional ideal incompressible fluid with a free surface is studied. Using the theory of conformal mappings and Hamiltonian formalism allows us to derive exact equations of surface evolution. Simple form of the equations helped to discover new integrals of motion. These integrals are connected with the analytical properties of conformal mapping and complex velocity. Simple form of the equations also makes the numerical simulations of the free surface evolution very straightforward. In the limit of almost flat surface the equations can be reduced to the Hopf equation.

研究の動機と目的

• 2次元ポテンシャル自由表面流れの非圧縮性理想流体を、幾何学的および動的簡略化を図る共形写像を用いて再定式化すること。
• ハミルトニアン形式を用いて、共形変数における表面形状および速度ポテンシャルの正確な時間発展方程式を導出すること。
• 共形写像の解析的性質および複素速度に起因する、新たな保存量（運動積分）を同定すること。
• 問題を固定計算領域に変換することにより、表面波動の効率的数値シミュレーションを可能にすること。
• 弱非線形かつほぼ平面表面の極限において、方程式がホフ方程式に帰着することを示し、既知の非線形波動理論と関連づけること。

提案手法

• 流体領域を下側半平面に写像する解析的共形写像 $ z(w,t) = x(u,t) + iy(u,t) $ を用い、$ w = u + iv $ とし、$ y(u,t) $ が自由表面 $ \theta(x,t) $ をパラメータ表示する。
• ラグランジアンを $ x(u,t) $, $ y(u,t) $ およびヒルバート変換 $ \tilde{H} $ を用いて表現し、$ z(w,t) $ の正則性を強制する。これにより、$ \tilde{H} $ に依存する項を含む関数的形が得られる。
• 正則性の制約とハミルトニアン構造を考慮した変分原理 $ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\text{d}L}{\text{d} \text{var}} - \frac{\text{d}L}{\text{d} \text{var}} = 0 $ を用いて運動方程式を導出する。
• 特に $ \tilde{\theta}_{11} $ および $ \tilde{\theta}_{12} $ を含むシンプレクティック作用素 $ \tilde{\theta}_{ij} $ を導入し、ハミルトニアン形式 $ \tilde{\theta}_{ij} \frac{\text{d}}{\text{d}t} (y, \tilde{\theta}) = \frac{\tilde{\theta} \tilde{H}}{\tilde{\theta} \text{var}} $ として方程式を表現することで、非退化性とカルタン形式の不在を保証する。
• ホロモーラックおよびアンチホロモーラック成分に分解するための射影子 $ \tilde{P}^{\bar{}} = \frac{1}{2}(1 \bar{ } i\tilde{H}) $ を用い、ポアソン括弧構造を簡略化する。
• 射影子 $ \tilde{P}^{\bar{}} $, $ \tilde{P}^{+} $ および関数的微分を用いて、ポアソン括弧を明示的に構成し、時間発展および保存則の体系的導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非圧縮性ポテンシャル流れの自由表面流動を、共形変数を用いて再定式化することで、領域および運動の簡略化が図れるか？
• RQ2 共形表現における共形写像および複素速度の解析的性質に起因する、新たな保存量（運動積分）は何か？
• RQ3 共形変数フレームワークにおいて、明示的に解けるかつ数値的に扱いやすいハミルトニアン形式で運動方程式を導出できるか？
• RQ4 弱非線形かつほぼ平面表面の極限における共形方程式の漸近的挙動は何か？また、ホフ方程式とどのように関連するか？
• RQ5 共形変数におけるシンプレクティック構造は、カルタン形式の不在とハミルトニアン形式の非退化性をどのように保証するか？

主な発見

• 共形変数の使用により、自由表面問題が下側半平面における固定領域問題に変換され、正確かつ数値的に効率的な時間発展方程式が得られる。
• 運動方程式は非退化なシンプレクティック構造を持つハミルトニアン形式で表現されており、カルタン形式が存在せず、任意のハミルトニアン $ \tilde{H} $ に対して適切に定義された力学的挙動が保証される。
• 共形写像および複素速度の解析的性質に直接関連する新たな運動積分が同定され、既知の保存則（質量、運動量、エネルギー）を拡張する。
• 表面勾配が小さい極限において、共形方程式はホフ方程式に帰着し、既知の弱非線形波動理論と整合性が確認される。
• ポアソン括弧は射影子 $ \tilde{P}^{\bar{}} $, $ \tilde{P}^{+} $ および関数的微分を用いて明示的に構成され、時間発展および保存則の体系的導出を可能にする。
• 固定計算領域と共形変数における明示的時間微分の扱いにより、表面波動の進化を容易に数値シミュレーション可能となる。