[論文レビュー] FreeFem++, a tool to solve PDEs numerically

Georges Sadaka|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

FreeFem++ は、変分式を用いた偏微分方程式（PDE）の数値的解法を可能にするオープンソースで使いやすい有限要素ソフトウェアです。2次元および3次元の問題をサポートし、異方的適応を伴う自動メッシュ生成が可能で、連続および不連続、混合要素を含む広範な有限要素を備えています。これにより、UMFPACK や GMRES といった組み込みソルバーを備えた高水準スクリプト言語を介して、線形および非線形楕円型、放物型、双曲型 PDE の効率的解法が実現されます。

ABSTRACT

FreeFem++ is an open source platform to solve partial differential equations numerically, based on finite element methods. It was developed at the Laboratoire Jacques-Louis Lions, Universit\\'e Pierre et Marie Curie, Paris by Fr\\'ed\\'eric Hecht in collaboration with Olivier Pironneau, Jacques Morice, Antoine Le Hyaric and Kohji Ohtsuka. The FreeFem++ platform has been developed to facilitate teaching and basic research through prototyping. FreeFem++ has an advanced automatic mesh generator, capable of a posteriori mesh adaptation; it has a general purpose elliptic solver interfaced with fast algorithms such as the multi-frontal method UMFPACK, SuperLU . Hyperbolic and parabolic problems are solved by iterative algorithms prescribed by the user with the high level language of FreeFem++. It has several triangular finite elements, including discontinuous elements. For the moment this platform is restricted to the numerical simulations of problems which admit a variational formulation. We will give in the sequel an introduction to FreeFem++ which include the basic of this software. You may find more information throw this link http://www.freefem.org/ff++.

研究の動機と目的

• 科学計算分野における教育やプロトタイピングに特化した、アクセスしやすくオープンソースの PDE 数値解法ツールを提供すること。
• 低レベルのコーディングを必要とせずに、研究者や学生が有限要素法を素早く実装・検証できるようにすること。
• 非線形および時間依存問題を含む、変分式を用いた複雑な PDE システムのサポート。
• 適応メッシュ生成、質量行列のランク付き化、効率的なスパースソルバーなどの高度な数値機能の統合。
• PDE 分野におけるモデル検証、数学的解析、アルゴリズム開発のための数値的実験を容易にすること。

提案手法

• PDE をその変分形によって定義する高水準スクリプト言語を用い、数学的表記に非常に近い形で記述される。
• 事後的な異方的適応を伴う、Delaunay-Voronoi に基づく自動メッシュ生成器を採用し、精度を向上。
• 連続および不連続ラグランジュ要素（P1, P2, P1dc, P2dc）とラヴィアル・トーマス要素を含む、多数の有限要素タイプをサポート。
• UMFPACK, SuperLU, CG, GMRES などの高速スパースソルバーを統合し、線形方程式系の効率的解法を実現。
• ユーザー定義の反復スキームを用いた時間積分を可能にし、安定性解析を伴う放物型問題用の θ-スキームをサポート。
• メッシュ間補間、誤差推定、gnuplot などの外部ツールを介した可視化のためのツールを提供。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高水準でオープンソースのプラットフォームは、研究者や教育者にとって PDE の数値的解法をどのように簡素化できるか？
• RQ2 自由Fem++ を用いて熱方程式に θ-スキームを適用した際、空間および時間方向の収束特性はどのようになるか？
• RQ3 自動メッシュ適応と質量行列のランク付き化は、時間依存 PDE における安定性および効率性を向上させるのにどの程度有効か？
• RQ4 変分式を用いることで、FreeFem++ は非線形および結合項を含む複雑な PDE システムをどの程度効果的にサポートできるか？
• RQ5 Poisson 方程式や非線形楕円型方程式といったベンチマーク問題において、FreeFem++ の精度と頑健性はどの程度か？

主な発見

• θ = 0（明示的）または θ = 1（後退オイラー）の場合、θ-スキームは空間で2次、時間で1次収束を達成する。θ = 0.5（Crank-Nicolson）の場合、空間および時間ともに2次収束を達成する。
• θ ∈ [0, 0.5) の範囲では、CFL 条件 Δt ≤ CFL·(Δx)²/(4μ·(1−2θ)) を満たす限り安定であり、数値実験で Δx = Δy のとき時間方向収束率が約 1.0、空間方向が約 2.0 に近い値が確認された。
• qf1pTlump を用いた質量行列のランク付き化により、質量行列が対角化され、容易に逆行列が得られるようになり、計算効率が向上し、明示スキームの CFL 條件も拡張される。
• 熱方程式に対する数値結果では、θ = 0 の場合、空間方向の収束率が約 1.99992、時間方向が約 0.99996 となり、理論的期待値と一致した。
• θ = 1/2 の場合、空間収束率が 2.00195、時間収束率が 2.00195 に達し、両方向で2次精度が達成されていることが示された。
• ソフトウェアは、メッシュの細分化および時間ステップの縮小に伴い L² 誤差が比例して減少することから、正確な解を高い精度で再現できている。