[論文レビュー] Freeness alone is insufficient for Manin-Peyre

Will Sawin|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、自由度（freeness）のみでは、Manin-Peyre予想における薄い集合（thin sets）の置き換えが不十分であることを示している。ヒルベルト函手 $ olinebreak[4]\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$ を用いて、二重被覆から得られる標準的な薄い集合に属する有理点が、高い自由度を持つことがあることを示し、ペイアの提案である「自由度 $> \epsilon(H(x))$ である点が十分である」という仮説に反する。

ABSTRACT

Manin's conjecture predicts the number of rational points of bounded height on a Fano variety. To make this prediction precise, it is necessary to remove a thin subset of rational points. Peyre has tentatively proposed replacing this subset by the set of points where a certain freeness function he defined takes small values. We show that this proposal fails in the case of $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb P^n)$, because the usual thin subset, consisting of rational points that lift to a certain double cover, contains many points with relatively large freeness.

研究の動機と目的

• ペイアの仮説、すなわち自由度 $> \epsilon(H(x))$ が、Manin-Peyre予想における薄い集合の除去に代わるとする仮説を検証すること。
• 二重被覆から得られる標準的な薄い集合に属する有理点が、依然として高い自由度を持つことがあるかどうかを調査すること。
• 自由度のみで正しい例外集合を定義できるという予想に対する反例を提供すること。
• 有理点の数え上げにおいて、自由度を薄い集合の代理として用いる際の幾何学的・算術的制限を明確にすること。

提案手法

• $ olinebreak[4]\mathbb{Q}$ 上のヒルベルト函手 $X = \operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$ を構成し、$n > 2$ のとき、これは滑らかで、射影的で、ファノ的であり、ピカール数は 2 である。
• 双対被覆 $f: \operatorname{Bl}_\Delta(\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n) \to X$ を定義し、その像が $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$ の有理点における薄い集合を定義する。
• ボスト＝ペイアの格子不変量と反標準的高さに基づき、点 $x$ における接格子の傾きを用いて、自由度関数 $l(x)$ を定義する。
• 距離と高さの有界性を満たす $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ 上の有理点の集合 $S_{C,\delta}$ を構成し、二重被覆を介して $X$ に持ち上げる。
• 集合 $S_{C,\delta}$ の点が自由度 $\frac{2\delta n}{n+1} - o_h(1)$ 以上であることを証明し、それらが薄い集合に属するにもかかわらず、非常に自由であることを示す。
• 高さが $B$ 未満であるようなこれらの点の数が $\gg B \log B$ 以上であることを確立し、その集合が大きくて無視できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由度 $> \epsilon(H(x))$ である有理点の集合が、Manin-Peyre予想における正しい例外集合を捉えられるか？
• RQ2 二重被覆から得られる標準的な薄い集合に属する $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$ の有理点は、必然的に低い自由度を持つのか？
• RQ3 薄い集合に属する有理点のうち、密度が正で大きな集合が、依然として高い自由度を持つことは可能か？
• RQ4 自由度関数は、ファノ多様体における算術的・幾何学的例外的挙動を検出できないのか？
• RQ5 幾何学的に定義された薄い集合に、0 から離れた自由度をもつ点が含まれる可能性はあるか？

主な発見

• 距離と高さの有界性を満たす $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ 上の有理点の集合 $S_{C,\delta}$ には、自由度が少なくとも $\frac{2\delta n}{n+1} - o_h(1)$ 以上である点が含まれており、$\delta$ を $1/2$ に近づけることで、$\frac{2n}{n+1}$ に限りなく近づけることができる。
• 二重被覆 $f$ による $S_{C,\delta}$ の像は、$\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$ の薄い集合に属するが、依然として高自由度の点を含む。
• 高さが $B$ 未満であるようなこれらの点の数は、定数倍の $B \log B$ 以上であるため、数え上げ関数においてその集合は大きく、無視できない。
• $\epsilon < \frac{n}{n+1}$ に対して、$\frac{2\delta n}{n+1} > \epsilon$ となる $\delta$ を選べるため、薄い集合内の無限個の点で自由度が $\epsilon(H(x))$ を上回ることが可能である。
• したがって、自由度 $> \epsilon(H(x))$ である点の集合は、薄い集合全体を除外できないため、ペイアの仮説は誤りである。
• 反例により、自由度のみで、Manin-Peyre予想における幾何学的に定義された薄い集合の必要性を置き換えることはできないことが示された。