[論文レビュー] Freeness in higher order frame bundles

Scot Adams|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、P. Olverの$C^{\infty}$作用に関する自由性予想に対する反例を構成する。任意の中心が非コンパクトな連結実リー群および整数群$\mathbb{Z}$に対して、任意の有限次フレームバンドル上で作用が自由でないことが示される。主な貢献は、すべての順序で周期的であるベクトル場の極限を用いて、固定点がまれなが自由でない$C^\infty$ $G$-作用を構成することである。

ABSTRACT

We provide counterexamples to P. Olver's freeness conjecture for $C^\infty$ actions. In fact, we show that a counterexample exists for any connected real Lie group with noncompact center, as well as for the additive group of the integers.

研究の動機と目的

• 任意の有限次ジェットバンドルにおける$C^\infty$作用に対するP. Olverの自由性予想を反証すること。
• 中心が非コンパクトな連結実リー群および加法群$\mathbb{Z}$に対して明示的な反例を構成すること。
• 固定点がまれな作用が、任意の有限次フレームバンドル上で自由でないことがあることを示すこと。
• 特定の点におけるベクトル場の収束とそのフローのすべての順序での振る舞いを分析すること。
• 自由性予想は、コンパクト中心などのより強い条件下でのみ成り立つことを確立し、$C^\omega$設定への修正を検討すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^4$ 上に、稠密な点の集合$\sigma_k$においてすべての順序で周期的である完全な$C^\infty$ベクトル場$V_k$の列を構成する。
• 点別極限として$V_\infty$を定義し、各$\sigma_k$においてすべての順序で周期性が保たれることを保証する。
• Baireのカテゴリー定理を用いて、$X = \bigcap_{k=1}^\infty \mathcal{U}(V_k)$ が$\mathbb{R}^4$で稠密であることを示す。ここで$\mathcal{U}(V_k)$は、非自明な$V_k$-周期軌道を持たない点の集合である。
• 時間$n$フローを用いて$V_\infty$から$\mathbb{Z}$-作用を$\mathbb{R}^4$に誘導する。同型写像$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$を用いて$z \cdot \sigma = \Phi_{f(z)}^{V_\infty}(\sigma)$と定義する。
• 中心が非コンパクトな連結リー群$G$を用いて、誘導作用により$G$-多様体$M = G \times_Z \mathbb{R}^4$を構成する。$G$-作用は$C^\infty$かつ固定点がまれであることを保証する。
• 周期性をすべての順序にまで持ち上げ、$\mathbb{Z}$-作用の構造を用いて、$k$次フレームバンドル$F_kM$上の点の安定化部分群が無限大であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の$C^\infty$有効なリー群作用は、ある有限次ジェットバンドル上で自由になるか？
• RQ2 中心が非コンパクトなリー群に対して、Olverの自由性予想の反例を構成できるか？
• RQ3 $\mathbb{Z}$-作用が、周期的ベクトル場の極限によって定義された$\mathbb{R}^4$上では、任意の有限次フレームバンドル上で自由になるか？
• RQ4 $C^\infty$自由性予想は、$C^\omega$設定に修正可能か？
• RQ5 リー群の中心は、ジェットバンドル上の作用の自由性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 任意の中心が非コンパクトな連結実リー群に対して、固定点がまれだが任意の有限次フレームバンドル上で自由でない$C^\infty$作用が存在する。
• $\mathbb{Z}$に対して反例が構成され、この場合にも自由性予想が成立しないことが示された。
• $\mathbb{R}^4$上の$\mathbb{Z}$-作用は、稠密な点集合ですべての順序で周期的であるベクトル場$V_k$の極限によって定義され、フレームバンドルに非自明な安定化部分群をもたらす。
• $k$次フレームバンドル$F_kM$上の点の安定化部分群が無限大であることが示され、作用が任意の有限次で自由でないことが証明された。
• 集合$X = \bigcap_{k=1}^\infty \mathcal{U}(V_k)$は$\mathbb{R}^4$で稠密であり、$\mathbb{Z}$-作用が固定点がまれであることを保証する。
• この構成により、$C^\infty$自由性予想は一般には成り立たないことが示されたが、コンパクト中心を持つ群では$C^\omega$版は成立する。