[論文レビュー] Frequency of dimension distortion under quasisymmetric mappings

Christopher J. Bishop, Hrant Hakobyan|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、距離空間におけるアーフォルズ正則集合のハウスドルフ次元が準等積写像によってどのように歪曲されるかを調査し、このような写像が『大多数』のd正則集合の次元を増加させないことを証明するとともに、次元d′ > dを超える画像を持つ例外的集合の数について、モジュラスに基づく推定値を提示する。平面の準正則写像に関しては、f(E × R) の次元が2/(d+1) 未満である成分を含むことを示し、この上限は鋭く、f(E × R) にリーマン可能な弧を含まない例も構成している。

ABSTRACT

Abstract. We study the distortion of Hausdorff dimension of families of Ahlfors regular sets under quasisymmetric map f between metric spaces. We show that f cannot increase the dimension of “most” d-regular sets and we estimate the number of exceptional sets whose images have dimension ≥ d ′> d; the precise statements of both results involve modulus estimates for families of measures. For planar quasiconformal maps, the general estimates imply that if E ⊂ R is d-regular, then some component of f(E × R) has dimension ≤ 2/(d + 1), and we construct examples to show this bound is sharp. In addition, we construct 1-dimensional sets E so that f(E × R) contains no rectifiable sub-arc. These results generalize work of Balogh, Monti and Tyson [5] and answer questions posed in [5], [8]. 1.

研究の動機と目的

• 距離空間における準等積写像下でのハウスドルフ次元の歪曲を分析すること。
• このような写像下で、次元が増加する可能性があるd正則集合の数を定量化すること。
• 平面の準正則写像下での積集合E × Rの画像の鋭い次元上限を確立すること。
• f(E × R) にリーマン可能な部分弧を含まない例を構成し、分野における未解決問題に答えること。

提案手法

• 測度の族に対するモジュラス推定値を用いて、準等積写像下で次元が増加する例外的集合のサイズを制御する。
• 幾何的測度論的手法を適用し、準等積写像下でのアーフォルズ正則集合の像の構造を分析する。
• 平面の準正則写像設定を活用し、コンフォーマルモジュラスと幾何的歪曲推定値を用いて次元上限を導出する。
• f(E × R) にリーマン可能な部分弧を含まない1次元の集合Eを明示的に構成し、次元上限の鋭さを示す。
• バログ、モンティ、タイソンの結果を一般化し、より広いクラスの距離空間へ次元歪曲推定値を拡張する。
• d正則性と準等積性を用いて、f(E × R) の成分の次元に対する一様な上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 E ⊂ R がd正則で、f が平面の準正則写像であるとき、f(E × R) の成分の最大次元は何か？
• RQ2 どの程度のd正則集合が準等積写像下で次元を増加させられるか？ また、この例外的族のサイズは何かが制御するか？
• RQ3 ある1次元のd正則集合Eに対して、f(E × R) がリーマン可能な部分弧を含まないことは可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ4 f(E × R) の成分の次元に対する上限2/(d+1) は鋭いか？ また、それが達成可能か？
• RQ5 測度の族に対するモジュラス推定値は、準等積写像下でのアーフォルズ正則集合の次元歪曲とどのように関係するか？

主な発見

• 任意のd正則集合E ⊂ R に対して、平面の準正則写像f による像f(E × R) は、少なくとも1つの成分が次元 ≤ 2/(d+1) を持つ。
• f(E × R) の成分の次元に対する上限2/(d+1) は鋭く、等号を達成するd正則集合Eの明示的構成によって示された。
• f(E × R) にリーマン可能な部分弧を含まない1次元の集合Eが存在し、画像が純粋に非可微分である可能性を示した。
• 準等積写像下で次元 ≥ d′ > d を持つ画像を持つd正則集合の数は、測度の族に対するモジュラス推定値によって制御される。
• 準等積写像は『大多数』のd正則集合の次元を増加させない。例外的集合の数はモジュラスに基づく推定値によって定量的に制限される。
• 本稿の結果はバログ、モンティ、タイソンの結果を一般化し、彼らの研究をより広い距離空間設定へ拡張した。