[論文レビュー] Frequency theorem for the regulator problem with unbounded cost functional and its applications to nonlinear delay equations

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、リグgedヒルバート空間設定において、非有界なコスト関数に対するレギュレータ問題の非特異な周波数定理を確立し、有界線形作用素を介してリャプノフ型汎関数の導出を可能にする。この枠組みを用いて、非斉次非線形遅れ方程式の周波数領域における安定性基準を導出し、特殊な場合に円の基準を回復する。

ABSTRACT

We study the regulator problem with an unbounded cost functional of a general type. A motivation comes from delay equations, which has the feedback part with discrete delays (or, in other words, delta-like measurements, which are unbounded in $L_{2}$). We treat the problem in an abstract context of a certain Hilbert space, which is rigged by a Banach space. We obtain a version of the non-singular frequency theorem, which guarantees the existence of a unique optimal process, starting in the Banach space. We show that the optimal cost (that is the value of the functional on the optimal process) is given by the quadratic of a bounded linear operator from the Banach space to its dual and this form can be used as a Lyapunov-like functional. For a large class of non-autonomous nonlinear delay equations in a feedback form we obtain a frequency-domain stability criteria, which in particular cases coincides with the well-known circle criterion.

研究の動機と目的

• 離散遅れを有する系、例えばデルタ関数に似た測定を伴う系で生じる非有界コスト関数に対するレギュレータ問題に対処すること。
• リグgedヒルバート空間枠組みにおいて、バナッハ空間に属する初期状態から出発する最適過程の存在と一意性を確立すること。
• 最適コストをバナッハ空間からその双対空間への有界線形作用素の二次形式として特徴づけ、リャプノフ型安定性解析を可能にすること。
• 非斉次非線形遅れ方程式の広範なクラスについて、フィードバック形式における周波数領域安定性基準を導出すること。
• 導出された基準が、古典的円の基準を特別な場合として一般化・含意することを示すこと。

提案手法

• 状態空間がヒルバート空間であり、初期状態がその中に連続的に埋め込まれたバナッハ空間に属するリグgedヒルバート空間においてレギュレータ問題を定式化すること。
• 離散遅れのエネルギーを捉える一般非有界コスト関数を導入し、デルタ関数に似た測定をモデル化すること。
• 抽象的周波数定理を適用して、バナッハ空間設定における最適過程の存在と一意性を保証すること。
• バナッハ空間からその双対空間への有界線形作用素を含む二次形式として最適コストを導出し、これによりリャプノフ型汎関数を構成すること。
• システム作用素の固有値およびそのリゾルベントのスペクトル的性質を分析することで、安定性解析を周波数領域に翻訳すること。
• 周波数領域基準を非線形遅れ方程式のフィードバック形式に適用し、漸近的安定性のための条件を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期状態がバナッハ空間に属する場合、非有界コスト関数を伴うレギュレータ問題が、一意な最適過程を有するための条件は何か？
• RQ2 遅延系におけるリャプノフ型安定性解析を可能にするために、最適コストをどのように表現できるか？
• RQ3 非斉次非線形遅れ方程式のフィードバック形式の漸近的安定性を保証する周波数領域の条件は何か？
• RQ4 導出された安定性基準が、古典的円の基準を一般化するか、あるいは特殊な場合にその基準に還元される意味は何か？
• RQ5 抽象的枠組みは、L2空間における非有界作用素としてモデル化される離散遅れを有する系に適用可能か？

主な発見

• 提案された抽象的枠組みのもとで、初期状態がバナッハ空間に属する限り、最適過程は存在し、かつ一意に定まる。
• 最適コストは、バナッハ空間からその双対空間への有界線形作用素の二次形式として表現され、これによりリャプノフ型汎関数が得られる。
• フィードバック形式の非斉次非線形遅れ方程式の安定性は、周波数定理から導出された周波数領域基準によって特徴づけられる。
• 導出された安定性基準は、特定の状況、例えばスカラー遅れを伴う線形定常系において、古典的円の基準に還元される。
• 状態空間をリグgedヒルバート空間に埋め込むことで、L2空間で非有界となる離散遅れに起因する非有界コスト関数を扱える。
• この手法により、システムが斉次的または線形でない場合でも安定性解析が可能となり、より広範な遅れ方程式のクラスへの適用が拡張される。