[論文レビュー] Frequently recurrence properties and block families

Rodrigo Cardeccia, Santiago Muro|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2022

Holomorphic and Operator Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間上の反復的超的線形作用素が必ず完備スペクトルを持つことを確立し、これはアーギオス＝ヘイドン空間が恒等作用素のコンパクトな摂動しか持てないことが知られていることから、その空間に反復的超的線形作用素が存在できないことを示している。著者らは、コンパクト摂動の反復的超的性を示すために、ほぼ $φ$-再帰性とブロック族 ($b\mathcal{F}$) を導入・分析した。これにより、特定のバナッハ空間におけるこのような作用素の存在に関する線形力学における核心的問題が解決された。

ABSTRACT

We prove that reiteratively hypercyclic operators have perfect spectrum. Consequently, it follows that there exist separable infinite dimensional Banach spaces that do not support any reiteratively hypercyclic operator. For this, we study $\mathcal F$-recurrence and almost $\mathcal {F}$-recurrence of operators for general families and in particular for a special class of families, called block families.

研究の動機と目的

• 無限次元で分離可能なバナッハ空間がすべて反復的超的線形作用素を支持するかどうかを特定すること。特に、アーギオス＝ヘイドン空間の特異な作用素構造を踏まえて。
• 一般の族 $φ$ に対して $φ$-再帰性、ほぼ $φ$-再帰性、$φ$-超的性の関係を調査すること。特にブロック族 $b\mathcal{F}$ について。
• コンパクト摂動の恒等作用素が反復的超的線形作用素になれないことを確立し、これによりアーギオス＝ヘイドン空間がそのような作用素を支持しないことを証明すること。
• ほぼ $φ$-再帰性が $φ$-再帰性を意味する条件を明確にすること。特に随伴作用素およびシンデティック集合や下付密度集合のような特定の族について。
• ほぼ $φ$-再帰性における後退シフト作用素の力学を調査し、それが何時 $φ$-超的性を意味するかを同定すること。

提案手法

• ほぼ $φ$-再帰性という概念を導入し、再帰の時間の集合が一般化された意味で稠密であることを強化したものとする。
• ブロック族 $b\mathcal{F}$ を、与えられた族 $φ$ に属する集合からの有限ブロックの和集合として定義し、構造的再帰パターンの研究を可能にする。
• 遺伝的上昇族およびファーツェンブルグ族の理論を用いて、頻度的超的性、反復的超的性、カオスといった概念を統一する。
• 双対性と位相的議論（例えば、閉球の $w^*$-コンパクト性）を用いて、随伴作用素におけるほぼ反復的再帰性が、全空間を有する不変測度の存在を示す。
• グリヴァルスとマテーロンの不変測度およびほぼ頻度的再帰に関する結果を活用し、$φ$-再帰性および超的性への帰結を導出する。
• 単一および両側の後退シフト作用素をほぼ $φ$-再帰性の下で分析し、超的性が成立する条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての無限次元分離可能なバナッハ空間が反復的超的線形作用素を支持するか？
• RQ2 遺伝的上昇族に対して、ほぼ $φ$-再帰性は $φ$-再帰性を意味するか。特に、正の下付密度を持つ集合族やシンデティック集合族に対して。
• RQ3 随伴作用素に対して、$b\mathcal{F}$-再帰性は $φ$-再帰性を意味するか。特に $φ = \mathcal{IAP}$ または $\underline{\mathcal{D}}$ の場合に。
• RQ4 両側後退シフト作用素がほぼ $φ$-再帰的である場合、上族 $φ$ に対して必ず $φ$-超的性を満たすか？
• RQ5 頻度的超的線形作用素を支持しないバナッハ空間が、反復的超的線形作用素を支持できるか？

主な発見

• 局所凸空間上の反復的超的線形作用素は、必ず完備スペクトルを持つ。これは、特定の空間におけるその存在を制限する構造的制約である。
• アーギオス＝ヘイドン空間は反復的超的線形作用素を支持しない。なぜなら、恒等作用素のコンパクト摂動しか持てないからである。
• 実または複素の局所凸空間上での恒等作用素のコンパクト摂動は、ブロック族とほぼ $φ$-再帰性の分析により、反復的超的線形作用素にはなり得ない。
• 一様に有限に不変な上族に対して、単一後退シフト作用素は $φ$-超的性を満たすための必要十分条件が、ほぼ $φ$-再帰性であることである。
• ほぼ反復的再帰的である随伴作用素は、双対性および位相的コンパクト性の議論により、全空間を有する不変測度を有する。
• いくつかの主要な族について、ほぼ $φ$-再帰性から $φ$-再帰性への含みが成り立つ。特に $φ = \mathcal{IAP}$, $\underline{\mathcal{D}}$, および $\overline{\mathcal{D}}$ の場合、随伴作用素の仮定のもとで成り立つ。