[論文レビュー] Frequently visited sites of the inner boundary of simple random walk range

Izumi Okada|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 2$ における $\mathbb{Z}^d$ 上の単純な対称ランダムウォークの範囲の内側境界における最も頻繁に訪問される点への訪問回数の頻度を調査する。確率的カップリングおよびチェビシェフの不等式とボレル＝カンテリの補題を用いたモーメント推定により、最も訪問回数の多い内側境界点への訪問回数が、$\beta_d \log n$ として漸近的に増加することを確立した。ここで $\beta_d = 1 / (-\log P(T_0 < T_b))$ であり、$T_0$ および $T_b$ はそれぞれ原点および隣接点への到達時間である。この結果は、全範囲と内側境界における訪問頻度行動の間の相転移を示している。

ABSTRACT

This paper considers the question: how many times does a simple random walk revisit the most frequently visited site among the inner boundary points? It is known that in ${\mathbb{Z}}^2$, the number of visits to the most frequently visited site among all of the points of the random walk range up to time $n$ is asymptotic to $π^{-1}(\log n)^2$, while in ${\mathbb{Z}}^d$ $(d\ge3)$, it is of order $\log n$. We prove that the corresponding number for the inner boundary is asymptotic to $β_d\log n$ for any $d\ge2$, where $β_d$ is a certain constant having a simple probabilistic expression.

研究の動機と目的

• $d \geq 2$ における $\mathbb{Z}^d$ 上の単純ランダムウォークの範囲の内側境界点のうち、最も頻繁に訪問される点への訪問回数の漸近的性質を特定すること。
• 内側境界における訪問頻度が、全範囲内で最も訪問回数の多かった（「お気に入り」の）点の訪問頻度とどのように比較できるかを明確にすること。
• 特に再帰性と非再帰性に関連して、内側境界における頻繁な訪問の幾何学的・確率的構造を解明すること。
• 次元に依存する相転移が全範囲では観察されるが、内側境界ではその影響がない、内側境界における最大訪問回数の明確な漸近的表現を確立すること。

提案手法

• 2進時間 $2^k$ における時間変換過程を用いて、内側境界における最大訪問回数の漸近的性質を単調近似によって導出する。
• チェビシェフの不等式とボレル＝カンテリの補題を用いて、訪問回数の裾確率を制御し、ほとんど確実な収束を保証する。
• カップリング技術を用いて、内側境界における訪問回数を、原点および隣接点への到達時間 $T_0$ および $T_b$ の到達確率 $P(T_0 < T_b)$ と比較する。
• 訪問回数の推定にための補助過程 $\tilde{\Theta}_n(\beta)$ および $Q_n$ を導入し、モーメント推定を用いて境界を導出する。
• 内側境界における訪問回数 $M(n)$ の非単調性に対処するため、2進時間スケールを用いた解析を実施する。
• 指数モーメント推定と対数スケーリングを用いて、頻繁に訪問される内側境界点の数に対する上界および下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d \geq 2$ における $\mathbb{Z}^d$ 上の単純ランダムウォークの範囲の内側境界点のうち、最も頻繁に訪問される点への訪問回数の漸近的性質は何か？
• RQ2 内側境界における訪問頻度は、全範囲内で最も訪問回数の多かった点（「お気に入り」の点）の訪問頻度とどのように比較できるか？
• RQ3 $d=2$ では $\log^2 n$、$d \geq 3$ では $\log n$ と次元に依存する相転移が全範囲で観察されるが、内側境界に制限した場合も同様の相転移が継続するか？
• RQ4 内側境界における訪問回数を支配する正確な漸近定数 $\beta_d$ は何か？また、これは到達確率の形で表現可能か？
• RQ5 内側境界では何個の点が頻繁に訪問され、この数の時間 $n$ に関する増加率は何か？

主な発見

• 任意の $d \geq 2$ に対して、$\mathbb{Z}^d$ 上のランダムウォークの範囲の内側境界における最も訪問回数の多かった点への訪問回数は、ほとんど確実に漸近的に $\beta_d \log n$ となる。ここで $\beta_d = 1 / (-\log P(T_0 < T_b))$ である。
• 漸近的増加率 $\beta_d \log n$ はすべての $d \geq 2$ で同一であり、内側境界では全範囲とは異なり訪問頻度に相転移がないことが示された。これは、$d=2$ と $d \geq 3$ で異なる全範囲の挙動とは対照的である。
• $\beta_d$ は、原点から隣接点へ戻らない確率の対数の逆数として、単純な確率的解釈を持つ。
• 少なくとも $\lceil \beta_d \delta \log n \rceil$ 回以上訪問される内側境界点の数は、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ほとんど確実に $n^{1 - \delta + \epsilon}$ 以下に増加する。一方、$k \to \infty$ のとき $h_k \to 1 - \delta / \beta_d$ となるように、$n^{h_k}$ 以上に増加する。これは正確な対数スケーリングを示している。
• 内側境界における訪問回数は、全範囲の「お気に入り」点とは異なり単調でないため、確率的極限定理を適用するには2進時間スケールの解析が必要である。
• 特に $d \geq 3$ において、内側境界は、全範囲の「お気に入り」点と同程度の頻度で訪問される点を支持しており、直観とは反して「お気に入り」点が内側境界上に存在するとは限らないことを示唆している。