[論文レビュー] Fried conjecture in small dimensions

Nguyen Viet Dang, Colin Guillarmou+2 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jul 3, 2018

Advanced Topology and Set Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元3の平坦なベクトル束上の滑らかなAnosovベクトル場に対して、解析 torsion とねじれた Ruelle ゼータ関数の s=0 における値との間の Fried の予想を証明する。高次元では、スペクトル条件の下でゼータ関数の s=0 における局所定数性を確立し、双曲的3次元多様体上の測地線流の近傍におけるAnosovフローに対して予想を確認する。これは、可変な負の曲率下で、非解析的例として初めて予想が成り立つ事例を提供する。

ABSTRACT

We study the twisted Ruelle zeta function $ζ_X(s)$ for smooth Anosov vector fields $X$ acting on flat vector bundles over smooth compact manifolds. In dimension $3$, we prove Fried conjecture, relating Reidemeister torsion and $ζ_X(0)$. In higher dimensions, we show more generally that $ζ_X(0)$ is locally constant with respect to the vector field $X$ under a spectral condition. As a consequence, we also show Fried conjecture for Anosov flows near the geodesic flow on the unit tangent bundle of hyperbolic $3$-manifolds. This gives the first examples of non-analytic Anosov flows and geodesic flows in variable negative curvature where Fried conjecture holds true.

研究の動機と目的

• 滑らかなAnosovベクトル場が平坦なベクトル束に作用する次元3の多様体上で、解析 torsion とねじれた Ruelle ゼータ関数の s=0 における値との間の Fried の予想を証明すること。
• 非解析的Anosovフローおよび可変な負の曲率下の測地線フローにおいて、Fried予想の有効性を拡張すること。
• 高次元において、ねじれたラプラシアンにゼロモードが存在しないというスペクトル条件の下で、ねじれた Ruelle ゼータ関数の s=0 における局所定数性を確立すること。
• 双曲的3次元多様体の単位接束上の測地線流の近傍におけるAnosovフローについて、予想を確認すること。
• 可変な負の曲率下で、非解析的AnosovフローにおいてFried予想が成り立つ最初の例を提供すること。

提案手法

• 滑らかなAnosovベクトル場 X がコンパクト多様体 M 上に作用する平坦なヒルベルト束 E を持つとき、その原始的閉軌道を用いて定義されるねじれた Ruelle ゼータ関数 ζ_X,ρ(λ) を分析する。
• Rugh, Fried, Giulietti-Liverani-Pollicott の C^∞ Anosovフローに関する先行研究に基づき、ゼータ関数のmeromorphicな拡張技術を適用する。
• ねじれたラプラシアンが不安定および安定方向にゼロモードを持たないというスペクトル条件を用いて、X に関する ζ_X(0) の局所定数性を確立する。
• Ray-Singerの解析 torsion τ_ρ(M) と、aclyclicユニタリ表現におけるCheeger-Müller定理によるReidemeister torsionの等価性に依拠する。
• Selbergの跡公式の技術と、SO(n) の表現論を用いて、双曲的多様体上のトレースフリー対称テンソルにおけるゼータ関数を分析する。
• ねじれたラプラシアンと発散作用素の核の次元を用いて、Selbergゼータ関数の零点の位数を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦なベクトル束上の次元3のAnosovフローに対して、Fried予想は成り立つか？
• RQ2 高次元において、ねじれた Ruelle ゼータ関数がスペクトル条件の下で s=0 で局所定数となるか？
• RQ3 可変な負の曲率下の双曲的3次元多様体上の測地線フローに対して、Fried予想は拡張可能か？
• RQ4 非解析的Anosovフローのうち、Fried予想が成り立つものはあるか？
• RQ5 Selbergゼータ関数の零点の位数と、トレースフリー対称テンソル上のねじれたラプラシアンの核との正確な関係は何か？

主な発見

• 次元3において、平坦なベクトル束上の滑らかなAnosovベクトル場に対して、Fried予想が証明され、|ζ_X,ρ(0)|^{(-1)^{n_0}} = τ_ρ(M) が成り立つことが示された。
• 高次元において、ねじれたラプラシアンにゼロモードが存在しないというスペクトル条件の下で、ζ_X(0) がベクトル場 X に関して局所定数であることが示された。
• 双曲的3次元多様体の単位接束上の測地線流の近傍におけるAnosovフローについて、可変な負の曲率下でも予想が検証された。
• これは、可変な負の曲率下で非解析的AnosovフローにおいてFried予想が成り立つ最初の既知の例を提供する。
• Selbergゼータ関数 Z_{S,σ_m}(s) の零点の位数は、ねじれたラプラシアンと発散作用素の核の次元を用いて計算された。
• s₀ ≠ n/2 のとき、零点の位数は dim(ker(∇*∇ - n²/4 - m + (s₀ - n/2)²) ∩ ker D*) に等しく、s₀ = n/2 のときはその2倍である。