[論文レビュー] Frobenius algebras and ambidextrous adjunctions

Aaron D. Lauda|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、モノイダル圏におけるFrobenius対象が、その圏が完全かつ忠実に埋め込まれる2-圏におけるアンビジェクツィアス随伴（同時に左随伴かつ右随伴である随伴）から生じることを確立する、深いつながりのとれたカテゴリカル双対性を提示する。主な貢献は、アンビジェクツィアス随伴を用いた2次元トポロジカル量子場理論（TQFT）のカテゴリカル再構成であり、高次元への一般化として、半厳密モノイダル2-圏におけるFrobenius擬モナドが、半厳密3-圏における擬似アンビジェクツィアス随伴から生じることを示している。

ABSTRACT

In this paper we explain the relationship between Frobenius objects in monoidal categories and adjunctions in 2-categories. In particular, we show that every Frobenius object in a monoidal category M arises from an ambijunction (simultaneous left and right adjoints) in some 2-category D into which M fully and faithfully embeds. Since a 2D topological quantum field theory is equivalent to a commutative Frobenius algebra, this result also shows that every 2D TQFT is obtained from an ambijunction in some 2-category. Our theorem is proved by extending the theory of adjoint monads to the context of an arbitrary 2-category and utilizing the free completion under Eilenberg-Moore objects. We then categorify this theorem by replacing the monoidal category M with a semistrict monoidal 2-category M, and replacing the 2-category D into which it embeds by a semistrict 3-category. To state this more powerful result, we must first define the notion of a `Frobenius pseudomonoid', which categorifies that of a Frobenius object. We then define the notion of a `pseudo ambijunction', categorifying that of an ambijunction. In each case, the idea is that all the usual axioms now hold only up to coherent isomorphism. Finally, we show that every Frobenius pseudomonoid in a semistrict monoidal 2-category arises from a pseudo ambijunction in some semistrict 3-category.

研究の動機と目的

• モノイダル圏におけるFrobenius対象と2-圏におけるアンビジェクツィアス随伴の間のカテゴリカルな対応を確立すること。
• すべての2次元TQFT（可換Frobenius代数と同値）が、ある2-圏におけるアンビジェクツィアス随伴から生じることを示すこと。
• Frobenius対象をFrobenius擬モナドに、随伴を擬似アンビジェクツィアス随伴にカテゴリファイド化することで、この双対性を高次元の圏へ拡張すること。
• 半厳密モノイダル2-圏におけるFrobenius擬モナドが、半厳密3-圏における擬似アンビジェクツィアス随伴から生じることを証明すること。
• Eilenberg-Moore対象と豊かにされたYoneda補題を用いた統一的枠組みを提供し、このような双対性を構築すること。

提案手法

• Eilenberg-Moore対象による自由完備化を用いて、随伴モノイドの理論を任意の2-圏へ拡張する。
• 豊かにされたYoneda補題を用いて、EM完備化における表現可能構造から擬似随伴を再構成する。
• Frobenius対象のカテゴリファイケーションとして、公理が同調同型を介して成り立つFrobenius擬モナドの概念を導入する。
• 1-射が別の1-射に対して同時に左および右擬似随伴であるような擬似アンビジェクツィアス随伴を定義する。構造写像は同調同型を介して整合的である。
• Gray圏におけるEilenberg-Moore対象の構成を応用し、Frobenius擬モナドからアンビジェクツィアス擬似随伴を生成する。
• 懸垂関手Σを用いて、半厳密モノイダル2-圏とGray圏との関係を確立し、主結果のカテゴリファイケーションを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のモノイダル圏におけるFrobenius対象は、その圏が完全かつ忠実に埋め込まれる2-圏におけるアンビジェクツィアス随伴から実現可能か？
• RQ2 Frobenius代数と随伴の双対性は、高次元のカテゴリカル構造へどのように拡張可能か？
• RQ3 半厳密モノイダル2-圏におけるFrobenius代数のカテゴリファイドアナログは何か？
• RQ4 半厳密モノイダル2-圏におけるFrobenius擬モナドは、半厳密3-圏における擬似アンビジェクツィアス随伴から生成可能か？
• RQ5 Eilenberg-Moore対象と豊かにされたYoneda埋め込みは、このような双対性の構築において果たす役割は何か？

主な発見

• モノイダル圏におけるFrobenius対象は、その圏が完全かつ忠実に埋め込まれる2-圏におけるアンビジェクツィアス随伴から生じる。
• すべての2次元TQFTは可換Frobenius代数と同値であり、したがってある2-圏におけるアンビジェクツィアス随伴から生じる。
• Gray圏における対象上のFrobenius擬モナドは、そのEilenberg-Moore完備化EM(𝒦)においてアンビジェクツィアス擬似随伴を生成する。
• Frobenius擬モナドは、忘却関手に対して同じ余単位をもつ、左および右両方の擬似随伴である擬似随伴から生成される。
• この構成は、豊かにされたYoneda補題を用いて、EM(𝒦)における表現可能構造を擬似随伴へ持ち上げることに依存する。
• 補題42は、半厳密モノイダル2-圏におけるFrobenius擬モナドが、その懸垂のEilenberg-Moore完備化EM(Σ(𝒫))において擬似アンビジェクツィアス随伴を誘導することを確認している。