[論文レビュー] Frobenius algebras and planar open string topological field theories

Aaron D. Lauda|ArXiv.org|Aug 18, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、2Thickと呼ばれる圏を導入することで、平面開放弦トポロジカル場理論の圏的基盤を確立する。この圏の射は、平面開放弦の世界面の微分同相型類からなる。本論文は、2Thickが非可換フロベニウス代数によって生成される自由モノイダル圏であることを証明し、モア・セガル公理（開放弦はこのような代数によって記述される）を厳密に裏付けるとともに、3次元膜への枠組みの拡張を2圏として行う。

ABSTRACT

Motivated by the Moore-Segal axioms for an open-closed topological field theory, we consider planar open string topological field theories. We rigorously define a category 2Thick whose objects and morphisms can be thought of as open strings and diffeomorphism classes of planar open string worldsheets. Just as the category of 2-dimensional cobordisms can be described as the free symmetric monoidal category on a commutative Frobenius algebra, 2Thick is shown to be the free monoidal category on a noncommutative Frobenius algebra, hence justifying this choice of data in the Moore-Segal axioms. Our formalism is inherently categorical allowing us to generalize this result. As a stepping stone towards topological membrane theory we define a 2-category of open strings, planar open string worldsheets, and isotopy classes of 3-dimensional membranes defined by diffeomorphisms of the open string worldsheets. This 2-category is shown to be the free (weak monoidal) 2-category on a `categorified Frobenius algebra', meaning that categorified Frobenius algebras determine invariants of these 3-dimensional membranes.

研究の動機と目的

• 平面開放弦トポロジカル場理論の厳密な圏的枠組みを提供すること。
• モア・セガル公理（開放弦は非可換フロベニウス代数によって記述される）を正当化すること。
• 標準的な2次元コボルディズム形式を、開放弦およびその平面的世界面を含むように一般化すること。
• 開放弦、世界面、および微分同相型類のホモトピー類からなる2圏を用いて、3次元膜への理論の拡張を図ること。
• カテゴライズされたフロベニウス代数が3次元膜の不変量を決定することを確立すること。

提案手法

• 対象が自然数で、射が境界区間を持つコンパクトで、向き付け可能で滑らかな曲面の微分同相型類からなる圏2Thickを導入する。
• 平面開放弦トポロジカル場理論を、2Thickからモノイダル圏Cへのモノイダル関手として定義する。
• 普遍性を用いて、2Thickが非可換フロベニウス代数によって生成される自由モノイダル圏であることを示す。
• 平面的世界面のホモトピー型類を用いて、3次元膜をモデル化するための2圏の拡張2Thick2を構成する。
• 自由構成と普遍性を含む形式的圏論を用いて、理論の代数的構造を確立する。
• 高次元のトポロジカル不変量を捉えるために、枠組みを2圏的設定に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面開放弦的世界面をどのように厳密に圏として形式化できるか？
• RQ2 なぜトポロジカル場理論における開放弦に対して非可換フロベニウス代数が正しい代数的構造であるのか？
• RQ3 2Cobの普遍性を、開放弦および平面的世界面を含むように一般化できるか？
• RQ4 開放弦的世界面から生じる3次元膜を、どのように圏論的に捉えることができるか？
• RQ5 この形式主義において、3次元膜の不変量を支配する代数的構造は何か？

主な発見

• 2Thickは非可換フロベニウス代数によって生成される自由モノイダル圏であり、開放弦に関するモア・セガル公理の圏的正当化を提供する。
• 平面開放弦トポロジカル場理論は、モノイダル圏における非可換フロベニウス代数の選択と同値である。
• 2Thickは、開放弦および平面的世界面を組み込んだ標準的な2次元コボルディズム圏を一般化する。
• 開放弦、平面的世界面、および微分同相型類のホモトピー類からなる2圏は、カテゴライズされたフロベニウス代数によって生成される自由（弱モノイダル）2圏として構成される。
• この2圏は、3次元膜の不変量を扱うための枠組みを提供し、カテゴライズされたフロベニウス代数がその背後にあるデータである。
• この形式主義は、2Cobの普遍性を開放弦および膜を含むように拡張し、高次元圏的設定において開放弦と閉じた弦の構造を統一する。