[論文レビュー] Frobenius distribution for pairs of elliptic curves and exceptional isogenies

François Charles|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モジュラー曲線上のヘッケ対応の力学的性質とアラケロフ幾何学を用いて、任意の数体上の2つの楕円曲線について、それらの還元が幾何学的に同一型であるような無限個の素数が存在することを確立している。この結果は、重み2のガロア表現におけるホッジ的理論的ノイザー＝レフシェッツ密度定理の算術的類似であり、特に超特異素数および複素乗乗法素数への応用を有する。

ABSTRACT

Let E and E' be two elliptic curves over a number field. We prove that the reductions of E and E' at a finite place p are geometrically isogenous for infinitely many p, and draw consequences for the existence of supersingular primes. This result is an analogue for distributions of Frobenius traces of known results on the density of Noether-Lefschetz loci in Hodge theory. The proof relies on dynamical properties of the Hecke correspondences on the modular curve.

研究の動機と目的

• 重み2のガロア表現に対して、ホッジ的理論的ノイザー＝レフシェッツ密度定理の算術的類似を確立すること。
• 楕円曲線の対のフロベニウストレースの分布と、素数を法とする同一型の挙動を調査すること。
• 任意の2つの楕円曲線の還元が、複素乗乗法や還元型にかかわらず、幾何学的に同一型であるような無限個の素数が存在することを証明すること。
• 楕円曲線の還元における超特異素数およびCM素数の存在に関する帰結を導出すること。

提案手法

• モジュラー曲線 X(1) 上のヘッケ対応の力学的性質を用いて、楕円曲線の j-不変量の分布を分析する。
• アラケロフ幾何学を用いて、楕円曲線のモジュライ空間を研究し、CM点間の距離を制御する。
• 双曲幾何学とモジュラーパラメトライゼーションを用いて、CM j-不変量の分離度に対する推定を行う。
• Sato-Tate予想をヒューリスティック的動機として用いるが、証明はそれ依存しない。
• Cebotarevの密度定理とFaltingsの同一型定理をグローバルな設定で用い、フロベニウスの共轭類と同一型類を関連付ける。
• ヘッケ軌道とCM点の近接度に対する定量的推定を用いて、特定の素数集合が密度0であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体における有限被覆において、2つの楕円曲線の還元が幾何学的に同一型であるような無限個の場所が存在するか？
• RQ2 重み2のガロア表現の文脈において、ホッジ的理論的ノイザー＝レフシェッツ部分集合の密度の算術的類似とは何か？
• RQ3 非同一型の2つの楕円曲線のフロベニウストレースの分布が、素数を法とする同一型を示唆する無限個の一致を生じるか？
• RQ4 この分布の帰結として、楕円曲線の還元における超特異素数およびCM素数の存在にどのような意味があるか？
• RQ5 モジュラー曲線上のヘッケ対応の力学が、同一型に適した素数の密度をどのように制御するか？

主な発見

• 本稿では、数体 k 上の任意の2つの楕円曲線 E と E' に対して、E_𝔭 と E'_𝔭 が幾何学的に同一型であるような無限個の有限被覆 𝔭 が存在することを証明している。
• この結果は、複素乗乗法や乗法的還元を示す場所の存在に関する仮定なしに成立する。
• 証明は、ヘッケ対応の力学とアラケロフ幾何学、特にCM点の挙動とその分離度に依存している。
• D ≥ 4 に対して、固定された点から N^(-D) の距離内にヘッケ軌道の要素が存在する整数 N の集合は密度0であることが示された。
• この結果から、任意の数体上の楕円曲線に対して、次のいずれかが成り立つ：無限個の超特異素数、または固定された虚二次体による複素乗乗法を持つ還元をもつ無限個の素数。
• 主な技術的進展は、有界次数の同一型をもつCM j-不変量が、同型でない限り、あまりに近づかないことの定量的推定であり、下界は (M₁M₂)^(-1/2)(√M₁ + √M₂)^(-1) に比例する。