[論文レビュー] Frobenius gauges and a new theory of p-torsion sheaves in characteristic p. I

Jean-Marc Fontaine, Uwe Jannsen|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、特徴が p である場合に、ディュドネモジュールを一般化し、クリスタリンコホモロジーを精緻化する新しい線形代数的構造、Frobeniusギャージーを導入する。シントミックおよびfppf位相を用いて、これらのギャージー値をとるコホモロジーオブジェクトを構成することで、著者たちは、古典的な p- torsion シーブ理論を拡張し、正の特性における多様体に対して、より精緻で有限型のコホモロジカルな道具を提供する枠組みを確立する。

ABSTRACT

We develop a new cohomology theory in characteristic p>0, the so called F-gauge cohomology, a cohomology with values in the category of so-called F-gauges, which refines the cristalline cohomology. In this first paper we mainly discuss the theory for smooth projective varieties over perfect fields of charatceristic p. We also compare our theory with other existing structures like the F-zips of Moonen and Wedhorn and the displays of Langer and Zink.

研究の動機と目的

• l = p のときエタール位相の失敗を克服するため、特徴が p である場合の p- torsion シーブに対する新しいコホモロジーオブジェクトを構築すること。
• 古典的なディュドネモジュールおよび関連構造（ディスプレイや F-ズィップなど）を、Frobenius ギャージーを用いてより広範な枠組みへ一般化すること。
• クリスタリンコホモロジーを拡張し、より細かい算術的および幾何的情報を捉えることのできる、精緻なコホモロジーオブジェクトである「ギャージー・コホモロジー」を定義すること。
• シントミック・エタールシーブを介して、p-_adic Hodge 理論とガロア表現の特別なファイバーとの間の関係を確立すること。
• 表現そのものだけでなく、シーブ論的構造を用いたガロア表現の変形を研究するための基盤を提供すること。

提案手法

• 特徴が p である完備体 k のウォット環 W(k) 上の一般化されたディュドネモジュールとして、ギャージー、φ-モジュール、φ-ギャージーの概念を導入する。
• 滑らかな多様体 X の de Rham コホモロジー複体から、Frobenius 演算子および微分作用素を備えた、普遍的ギャージー G₁(X) を構成し、これは厳密かつ有効な φ-ギャージーである。
• シントミック位相と環のシーブ O₁^cris を用いて、φ-W_n-ギャージー値をとる、ギャージー・コホモロジーオブジェクト H^i_g(X, W_n) を定義する。
• サイトの写像 α: X_syn → X_Zar に対して、Rα_*G₁ ≅ G₁(X) という自然な同型を確立し、ギャージー・コホモロジーと de Rham コホモロジーを結びつける。
• W_n-クリスタルの理論と fppf/fpqc 位相を用いて、新しいシーブ論的構成を定義し、既存の p- torsion シーブと関係づける。
• 古典的なセール双対性と de Rham 複体の構造を用いて、滑らかかつコンパクトな多様体の場合に、ギャージー・コホモロジーにおける Poincaré 双対性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、特徴が p である場合に、クリスタリンコホモロジーを精緻化し、l = p のときエタールコホモロジーが失敗する問題を克服する p- torsion シーブのためのコホモロジーオブジェクトを構築できるか？
• RQ2 μ_{p^n} や Z/p^nZ のようなシーブの構造を統一的に捉えるために、適切なディュドネモジュールの一般化とは何か？
• RQ3 Frobenius ギャージーは、正の特性幾何における既存の構造（F-ズィップ、ディスプレイ、W_n-クリスタル）とどのように関係しているか？
• RQ4 ギャージー・コホモロジーを用いて、古典的な双対性定理（例えば Poincaré 双対性）を、新しいクラスのシーブ論的不変量へ拡張できるか？
• RQ5 シントミック・エタール位相は、ガロア表現のような p-_adic Hodge 理論的対象の特別なファイバーを実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• ギャージー・コホモロジー H^i_g(X, W_n) は有限型であり、d が完備体 k の特徴が p である滑らかでコンパクトな多様体 X の次元であるとき、i ≥ d では消える。
• 滑らかでコンパクトな多様体に対して、ギャージー・コホモロジーは完全な Poincaré 双対性を満たす：H^i_g(X, W_n) × H^{2d−i}_g(X, W_n) → H^{2d}_g(X, W_n) ≅ W_n(−d) であり、双対化ギャージー W_n(−d) は Frobenius σ を備える。
• α: X_syn → X_Zar がサイトの写像であるとき、自然な同型 Rα_*G₁ ≅ G₁(X) が成り立つ。これは、フォンタイン＝メッシング同型を通じて、ギャージー・コホモロジーと de Rham 複体を結びつける。
• ギャージー・コホモロジーの次数 0 部分はクリスタリンコホモロジーを回復する：H^i_g(X, W_n)^0 = H^i_cr(X/W_n)。
• de Rham φ-ギャージー G₁(X) は、Frobenius および微分作用素を備えた de Rham 複体から構成され、[0, d] に集中する厳密かつ有効なギャージーをなす。
• この理論は、p-_adic Hodge 理論の特別なファイバーのシーブ論的実現を提供する。ここで、シントミック・シーブ上の p^n 倍写像の核は、新しいクラスの p- torsion シーブに対応する。