[論文レビュー] Frobenius splitting and ordinarity

Kirti Joshi, C. S. Rajan|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

この論文は代数幾何におけるフロベニウス分解と正規性の関係を調査し、フロベニウス分解された多様体がウィット代数的整数環上の de Rham-Witt コホモロジーを有限生成に持つことを証明するが、次元が高次である場合にそれらが正規的であるか、Hodge-Witt であるとは限らない反例を構成する。Kummer K3 多様体が、関連するアーベル多様体が正規的である場合にかつその場合に限り F-分解であることを示し、数体上の K3 多様体およびアーベル多様体に対するセールの正規的還元に関する予想を証明し、有限の底拡大体をとることで、密度1の素数の集合が正規的還元を持つことを示す。

ABSTRACT

We examine the relationship between the notion of Frobenius splitting and ordinarity for varieties. We show the following: a) The de Rham-Witt cohomology groups $H^i(X, W({\mathcal O}_X))$ of a smooth projective Frobenius split variety are finitely generated over $W(k)$. b) we provide counterexamples to a question of V. B. Mehta that Frobenius split varieties are ordinary or even Hodge-Witt. c) a Kummer $K3$ surface associated to an Abelian surface is $F$-split (ordinary) if and only if the associated Abelian surface is $F$-split (ordinary). d) for a $K3$-surface defined over a number field, there is a set of primes of density one in some finite extension of the base field, over which the surface acquires ordinary reduction. This paper should be read along with first author's paper `Exotic torsion, Frobenius splitting and the slope spectral sequence' which is also available in this archive.

研究の動機と目的

• 正の特性の完備体上の滑らかで射影的な多様体におけるフロベニウス分解と正規性の関係を明確化すること。
• 特に高次元において、フロベニウス分解された多様体が必然的に Hodge-Witt または正規的であるかどうかを調査すること。
• 数体上に定義された K3 多様体およびアーベル多様体に対して、セールの予想（正規的還元を持つ素数の集合が密度1であること）を証明すること。
• フロベニウス分解および還元型の文脈において、de Rham-Witt コホモロジーとねじれの振る舞いを分析すること。

提案手法

• フロベニウス分解多様体におけるコホモロジー群の構造を分析するため、de Rham-Witt コホモロジーとカルティエ作用素の使用。
• イリューシェ＝レイノーおよびブロッハ＝カトのクリスタリン・コホモロジーおよび Hodge-Witt コホモロジーに関する結果を応用し、有限性およびねじれの性質を研究。
• Fano 多様体および完全交差を用いた具体的な反例の構成により、次元 ≥4 においてフロベニウス分解多様体が Hodge-Witt または正規的でないことがあることを示す。
• セールの予想および標準的セール＝タイツのリフトの結果を活用し、有限の底拡大体をとることで、K3 多様体およびアーベル多様体に対して密度1の正規的還元を証明。
• $l$-進コホモロジーおよびアーベル多様体の標準的リフト理論を用い、Kummer K3 多様体における F-分解と正規性の同値性を確立。
• S-整数環上の正規的かつ固有なモデルを用いた素数モジュロでの還元の分析と、クリスタリン・コホモロジー群の振る舞いを用いて、Hodge-Witt 群におけるねじれを研究。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのフロベニウス分解多様体は、特に高次元において、Hodge-Witt または正規的であるのだろうか？
• RQ2 K3 多様体の F-分解は、その関連するアーベル多様体が正規的であることと同値であり、かつその逆も成り立つのだろうか？
• RQ3 数体上の滑らかで射影的な多様体に対して、有限拡大体が存在し、その上で正規的還元を持つ素数の集合が密度1であると期待できるか？
• RQ4 次元 ≥4 において、Hodge-Witt でも正規的でもないフロベニウス分解多様体の例を構成できるだろうか？
• RQ5 良い還元を持つ素数において、de Rham-Witt コホモロジーにおける Hodge レベルおよびねじれの役割は何か？

主な発見

• 滑らかで射影的なフロベニウス分解多様体 $X$ の de Rham-Witt コホモロジー群 $H^i(X, W(\fancyscript{O}_X))$ は、$W(k)$ 上で有限生成である。
• フロベニウス分解多様体が Hodge-Witt または正規的でないことがある反例が存在し、特に次元 ≥4 において顕著である。
• アーベル多様体に付随する Kummer K3 多様体は、そのアーベル多様体が F-分解（正規的）である場合にかつその場合に限り F-分解（正規的）である。
• 数体上に定義された K3 多様体またはアーベル多様体に対して、有限拡大体が存在し、その上で正規的還元を持つ素数の集合が密度1である。
• 底多様体およびファイバーが正規的であるが、全空間が正規的でないような滑らかなファイブレーションの例が存在し、ファイブレーションにおける正規的性の失敗を示す。
• 有理数体 $\mathbb{Q}$ 上のアーベル多様体に対して、Hodge-Witt コホモロジー群 $H^2(X_\wp, W\Omega^j)$ に無限大のねじれを持つ素数 $\wp$ が無限に存在し、これは特異的還元に対応する。