[論文レビュー] Frobenius splitting of cotangent bundles of flag varieties and geometry of nilpotent cones

Shrawan Kumar, Niels Lauritzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、正標数 $p>0$ における単純・ simply connected な代数群 $G$ のフラッグ多様体 $G/B$ の余接 bundle $T^*(G/B)$ に対して、標準的なフロベニウス分岐を確立し、スタインベルクモジュールとノルム的コーンの幾何とを結びつける。主な結果は、すべての半単純群において一様に、高次コホモロジー $ {H}^i(G/B, Srak{u}^* ens {L}) = 0$（$i>0$ かつ $ {L}$ が支配的）が成り立つことであり、これにより、部分正則ノルム的コーン多様体が正規的で、ゴレンシュタイン的であり、有理的特異点を持つことが示される。

ABSTRACT

We use the G-invariant non-degenerate form on the Steinberg module to Frobenius split the cotangent bundle of a flag variety in good prime characteristics. This was previously only known for the general linear group. Applications are a vanishing theorem for pull back of line bundles to the cotangent bundle (proved for the classical groups and G_2 by Andersen and Jantzen and in characteristic zero by B. Broer (for all groups)), normality and rational singularities for the subregular nilpotent variety and good filtrations of the global sections of pull backs of line bundles to the cotangent bundle, which in turn implies good filtrations of cohomology of induced representations.

研究の動機と目的

• 正標数におけるフラッグ多様体の余接 bundle $T^*(G/B)$ に対して、標準的なフロベニウス分岐を確立すること。
• スタインベルクモジュール $\r{St}$ 上の $G$-不変形式 $\chi$ と $T^*(G/B)$ のフロベニウス分岐とを結びつけること。
• すべての支配的重み $\lambda$ に対して、高次コホモロジー $\r{H}^i(G/B, S\frak{u}^* \tens \lambda)$ が $i>0$ のとき消えることを証明し、既存の結果を拡張すること。
• このコホモロジー消滅を用いて、部分正則ノルム的コーン多様体が正規的で、ゴレンシュタイン的であり、有理的特異点を持つことを示すこと。
• タイプ $A_n$ におけるメーハ–ヴァン・デル・カレンの分岐を、他の群やパラボリック部分群に一般化すること。

提案手法

• $B$-同変同型 $U \cong \frak{u}$ を用いて、$X = G \times^B U$ を $T^*(G/B) = G \times^B \frak{u}$ と同一視し、余接 bundle の幾何的実現を可能にする。
• $\r{St}$ をスタインベルクモジュールとするとき、自然な写像 $\varphi: \r{St} \tens \r{St} \to \r{H}^0(X, \cO_X)$ を構成する。
• $\varphi(a \otimes b)$ が $X$ のフロベニウス分岐であるための必要十分条件が $\chi(a \otimes b) = 1$ であること、すなわち表現論とフロベニウス分岐とを結びつける。
• 余接 bundle $T^*(G/B)$ の標準的フロベニウス分岐を用いて、任意の重み $\lambda$ に対して $\r{H}^0(G/B, S\frak{u}^* \tens \lambda)$ が良いフィルトレーションを持つことを、補題 9 を用いて示す。
• コシュール分解とホッジコホモロジーの対角性を用いて、$i > 0$ かつすべての支配的 $\lambda$ に対して $\r{H}^i(G/B, S\frak{u}^* \tens \lambda) = 0$ であることを証明し、以前の結果を一般化する。
• 余接 bundle $T^*(G/B)$ の標準的分岐が、すべての支配的 $\mu$ および $p > h$ に対して $\r{H}^i(G_1, \r{H}^0(G/B, \mu))^{[-1]}$ に良いフィルトレーションを誘導することを示し、アンドershーゼンとヤンツェンの結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタインベルクモジュール上の $G$-不変形式 $\chi$ は、余接 bundle $T^*(G/B)$ のフロベニウス分岐とどのように関係するか？
• RQ2 すべての半単純群において、正標数で高次コホモロジー $\r{H}^i(G/B, S\frak{u}^* \tens \lambda)$（$i > 0$）が一様に消えるか？
• RQ3 余接 bundle $T^*(G/B)$ の標準的フロベニウス分岐は、部分正則ノルム的コーン多様体が正規的で、ゴレンシュタイン的であり、有理的特異点を持つことを示唆するか？
• RQ4 標準的分岐は、$\r{GL}_n$ 場合におけるメーハ–ヴァン・デル・カレン分岐とどのように関係するか？
• RQ5 コホモロジー消滅結果は、パラボリックフラッグ多様体や正則な支配的重みへと拡張可能か？

主な発見

• $\r{St} \tens \r{St}$ の $B$-加群構造を用いて、$T^*(G/B)$ の標準的フロベニウス分岐を構成し、$\varphi(a \otimes b)$ がフロベニウス分岐であるための必要十分条件は $\chi(a \otimes b) = 1$ である。
• すべての支配的重み $\lambda$ に対して、$i > 0$ のとき $\r{H}^i(G/B, S\frak{u}^* \tens \lambda) = 0$ が成り立つ消滅定理が、すべての群に一様に成立し、以前の結果を拡張する。
• 部分正則ノルム的コーン多様体が正規的で、ゴレンシュタイン的であり、有理的特異点を持つことが、コホモロジー消滅から示される。
• $p > h$ かつすべての支配的 $\mu$ に対して、$\r{H}^i(G_1, \r{H}^0(G/B, \mu))^{[-1]}$ が良いフィルトレーションを持つことが示され、以前の結果が一般化される。
• 余接 bundle $T^*(G/B)$ の標準的分岐により、任意の重み $\lambda$ に対して $\r{H}^0(G/B, S\frak{u}^* \tens \lambda)$ に良いフィルトレーションが誘導される。
• タイプ $A_n$ において、メーハ–ヴァン・デル・カレン分岐は、標準的分岐関数の $N(p-1)$ 次同次成分として現れる。ここで $N = n(n+1)/2$ である。