[論文レビュー] From 2D Toda hierarchy to conformal map for domains of Riemann sphere

Yu. V. Klimov, A. Korzh+1 more|ArXiv.org|Dec 28, 2002

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次元Toda階層の分散なし極限とリーマン球面上の共形写像との間の関係を確立し、階層のストリング解の収束するテイラー級数表現を導出する。主な貢献は、級数の収束を保証する十分条件を同定することであり、調和モーメントを用いて、単一な共形写像を単位円板から任意の解析的領域へ効果的に計算可能にする。

ABSTRACT

In recent works [hep-th/9909147, hep-th/0005259] was found a wonderful correlation between integrable systems and meromorphic functions. They reduce a problem of effictivisation of Riemann theorem about conformal maps to calculation of a string solution of dispersionless limit of the 2D Toda hierarchy. In [math.CV/0103136] was found a recurrent formulas for coeffciens of Taylor series of the string solution. This gives, in particular, a method for calculation of the univalent conformal map from the until disk to an arbitrary domain, described by its harmonic moments. In the present paper we investigate some properties of these formulas. In particular, we find a sufficient condition for convergence of the Taylor series for the string solution of dispersionless limit of 2D Toda hierarchy.

研究の動機と目的

• リーマン球面上の領域の共形写像と分散なし2次元Toda階層との間の対応関係を確立すること。
• 調和モーメントを用いて、単位円板から任意の解析的領域への単一な共形写像を効果的に計算する手法を提供すること。
• 分散なし2次元Toda階層のストリング解のテイラー級数展開を導出し、解析すること。
• ストリング解のテイラー級数の収束に関する十分条件を特定すること。
• 級数展開における係数の再帰的公式を通じて、共形写像の実用的計算を可能にすること。

提案手法

• 平面領域の調和モーメントを用いて共形写像を記述する枠組みとして、2次元Toda階層の分散なし極限を用いる。
• 領域の補集合上の二重積分を用いて定義される生成関数 F(t) を用いて、階層のストリング解を導出する。
• D(z) および D̄(z̄) 演算子を含む微分方程式を適用して、ストリング解 F(t) を特徴づけ、φ(z,t) を介して共形写像と関連付ける。
• 階層の式から導かれる再帰的組合せ公式を用いて、F(t) のテイラー級数における係数 N を計算する。
• t₁=⋯=0 における境界条件を用いて、F の導関数の初期値を固定し、高次係数の再帰的計算を可能にする。
• 漸近的解析と多項係数の組合せ的評価を用いて、級数の収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散なし2次元Toda階層は、リーマン球面上の任意の解析的領域に対して、どのようにして効果的に共形写像を計算するか？
• RQ2 分散なし2次元Toda階層のストリング解 F(t) のテイラー級数展開の構造は何か？
• RQ3 ストリング解のテイラー級数が収束する条件は何か？
• RQ4 領域の調和モーメントから、級数の係数を再帰的にどのように計算できるか？
• RQ5 共形写像の係数と階層の解の組合せ的構造との関係は何か？

主な発見

• 本稿では、多項係数および組合せ的和を用いて表される、ストリング解 F(t) のテイラー級数における係数 N の閉形式の再帰的公式を導出する。
• 多項係数項と指数的要因を用いた係数の成長を評価することで、テイラー級数の収束に関する十分条件を確立する。
• t₀, t₁, t̄₁, ..., tₙ, t̄ₙ の次数 K の単項式が (2n)^K で有界であり、総和が 2^(-K) のように減少する場合、級数は絶対収束する。
• 単項式 t₀^i t_{i₁}^{n₁}⋯t_{i_I}^{n_I} t̄_{i₁}^{n̄₁}⋯t̄_{i_I}^{n̄_I} の係数は、累乗、階乗、および max(I, Ī) を含む指数的項の積として与えられる。
• 収束の証明は、単項式の数と係数の大きさの両方を評価することに依拠し、級数が収束する幾何級数型の主要級に支配されることを示す。
• 最終的な結果として、F(t) の形式的級数が t₁=⋯=0 の近傍で収束することを確認し、ストリング解を用いた共形写像の効果的計算が可能になる。