[論文レビュー] From a monotone probabilistic scheme to a probabilistic max-plus algorithm for solving Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Marianne Akian, Eric Fodjo|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアンの拡散行列に対する厳密な制約を緩和する、単調性を保証する新しい確率的max-plus法を提案し、高次元のハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を解く。従来の方法が正定値行列による下界の有界性を要件としていたのに対し、本手法は弱い仮定のもとで収束を保証し、相関の不確実性と符号が変化するクロスギャマを伴う5次元オプションプライシングモデルにおけるスーパーヘッジング価格の効率的計算を可能にする。

ABSTRACT

In a previous work (Akian, Fodjo, 2016), we introduced a lower complexity probabilistic max-plus numerical method for solving fully nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated to diffusion control problems involving a finite set-valued (or switching) control and possibly a continuum-valued control. This method was based on the idempotent expansion properties obtained by McEneaney, Kaise and Han (2011) and on the numerical probabilistic method proposed by Fahim, Touzi and Warin (2011) for solving some fully nonlinear parabolic partial differential equations. A difficulty of the algorithm of Fahim, Touzi and Warin is in the critical constraints imposed on the Hamiltonian to ensure the monotonicity of the scheme, hence the convergence of the algorithm. Here, we propose a new "probabilistic scheme" which is monotone under rather weak assumptions, including the case of strongly elliptic PDE with bounded coefficients. This allows us to apply our probabilistic max-plus method in more general situations. We illustrate this on the evaluation of the superhedging price of an option under uncertain correlation model with several underlying stocks and changing sign cross gamma, and consider in particular the case of 5 stocks leading to a PDE in dimension 5.

研究の動機と目的

• 完全非線形HJB方程式に対する既存の確率的スキームにおける制限的な単調性制約を克服すること。
• 強楕円型PDEに係数が有界であるような一般の制御問題にまで、確率的max-plus法を適用可能にする。
• 時間ステップ数およびサンプリングサイズに関して多項式的複雑性を維持する数値安定性と収束性を有するスキームの開発。
• 相関の不確実性と非凸的ペイオフ構造を伴う5次元オプションプライシングのような高次元問題への手法の有効性を実証すること。

提案手法

• HJB方程式におけるヘッセ行列の新しい確率的離散化を提案し、有界な拡散行列を含む弱い仮定のもとで単調性を保証する。
• 拡散行列に対する臨界な下界条件をより一般で緩和された条件に置き換える、修正された確率的スキームを導入する。
• McEneaneyらのidempotent max-plus構造と、Fahim, Touzi, Warinの確率的数値法を統合し、値関数を二次形式の上界として後向きに計算可能にする。
• 各離散制御に対応する非制御過程のモンテカルロシミュレーションを実施し、有限個の経路サンプルを用いる。
• 指数的増加を抑えるためにプルーニング技術を用いながら、時間ステップ数およびサンプリングサイズに関して多項式的複雑性を維持する。
• 安定性に基づく近似戦略を採用し、初期状態の近傍に有界な領域内で値関数を近似する。これは、シミュレートされた経路が初期点付近に集中することを利用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HJB方程式の確率的スキームが、拡散行列に対する臨界な下界条件よりも弱い仮定のもとで単調性を達成できるか？
• RQ2 提案されたスキームが、5次元オプションプライシングのような高次元設定でも収束性と多項式的複雑性を維持するか？
• RQ3 本手法は、相関の不確実性を伴う金融モデルにおける非凸的ペイオフおよび符号が変化するクロスギャマを効果的に扱えるか？
• RQ4 高次元問題において、有限差分法と比較して、メモリ使用量と計算時間の点で本スキームはどの程度優れるか？
• RQ5 ペイオフがc-下半凸でない場合を含め、有界でない領域において、有限個の二次形式の上界による値関数の近似はどの程度正確に達成できるか？

主な発見

• 提案された確率的スキームは、有界な拡散係数を伴う強楕円型PDEを含む弱い仮定のもとで単調性と収束性を達成し、Fahimらのスキームが要請する制限的な下界条件を緩和した。
• 本手法は、符号が変化するクロスギャマと相関の不確実性を伴う5資産オプションのスーパーヘッジング価格を、非凸性と半凸性の欠如により従来の手法が失敗する状況でも効果的に計算した。
• 5次元において、12コアと192GB RAMを用い、Nin = 3000、Nx = 50のサンプリングサイズで、約19時間の計算時間で値関数の安定的近似が達成された。
• 5次元における計算された値関数は、真の解と整合性のある形状を示したが、収束は完全に達成されておらず、Nin = 2000とNin = 3000の差が2次元問題で観察されたものと同程度であった。
• 有限差分スキームと比較して、著しく少ないメモリ使用量（5次元グリッドの10¹⁰単位に対して約7.5×10⁵単位）を実現し、より高次元への適用が可能になった。
• 計算のボトルネックは、各時間ステップで最大の二次形式を求めるO(Nin² × Nw × d²)の最適化ステップであった。これは今後の高速化の主なターゲットであると特定された。