[論文レビュー] From A to B: New Methods to Interpolate Two Poses

Hans-Peter Schröcker|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2017

Advanced Vision and Imaging被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2つの標準的SE(3)点モデル、すなわち同次変換行列と双クaternionモデルの拡張された周囲空間における線形補間を用いて、2つの剛体姿勢の間を補間する2つの新規手法を提案する。得られる運動は、有理的で低次の曲線、すなわち垂直ダーブルックス運動または3次円運動であり、2つの入力姿勢によって定義されるシリンダーグループ内に位置し、明確な幾何的解釈とパラメータ化可能な族を持つ。

ABSTRACT

We present two methods to interpolate between two given rigid body displacements. Both are based on linear interpolation in the ambient space of well-known curved point models for the group of rigid body displacements. The resulting motions are either vertical Darboux motions or cubic circular motions. Both are rational of low degree and lie in the cylinder group defined by the two input poses. We unveil the essential parameters in the construction of these motions and discuss some of their properties.

研究の動機と目的

• ヘリカル補間の非代数的性質に起因する制限を克服する代替の剛体姿勢補間手法の開発。
• SE(3)点モデルの拡張された周囲空間における線形補間を用いて、有理的で低次の運動を生成することの探求。
• 得られる運動の幾何的および代数的性質、特に則線面およびシリンダーグループとの関係の特徴付け。
• 運動補間と、線対称運動や放物面型双曲面といった古典的運動論的構成との関係の確立。
• 拡張された運動マップを介して、標準的なCAD技術（例：de Casteljauおよびde Boorアルゴリズム）を運動設計に応用可能にする。

提案手法

• SE(3)の同次変換行列モデル（R12）および双クォータニオンモデル（P7）を、線形補間を可能にするためのアフィン空間または射影空間に拡張する。
• 拡張された行列空間における線形補間を適用し、放物面型双曲面の1つの則線族に関して線対称となる運動を生成する。
• 得られる運動が、かつてその背後に存在する放物面型双曲面が直交する、すなわちパラメータa = ±bのとき、かつそのときに限りシリンダーグループに属することを示す。
• 拡張された双クォータニオンモデルを用いて、線形補間により垂直ダーブルックス運動を生成し、これは有理的で幾何的に明確に理解できる。
• 3次円運動の伝達曲線（回転角対移動距離）がスケーリングおよびシフトされた正接関数であることを実証し、運動パラメータと軌道幾何との直接的な関係を示す。
• 非可逆な拡張された運動マップµ[m]を活用し、標準的なCAD曲線構成（例：ベジエ曲線）を剛体運動の空間に伝搬させ、de Casteljauおよびde Boorアルゴリズムを剛体運動に適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SE(3)点モデルの拡張された周囲空間における線形補間は、ヘリカル補間の非代数的性質を回避する有理的で低次の運動を生成できるか？
• RQ2 拡張された行列モデルにおける線形補間によって生成される運動の背後にある幾何的構造（例：則線面、シリンダーグループ）は何か？
• RQ3 放物面型双曲面のパラメータ（例：a, b）は、運動の対称性およびシリンダーグループへの属性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 3次円運動における伝達曲線（回転角対移動距離）と、それによる軌道幾何との関係は何か？
• RQ5 標準的なCAD曲線設計技法（例：de Casteljau、de Boor）は、拡張された運動マップを用いることで、運動設計にどの程度適応可能か？

主な発見

• 拡張された行列モデルにおける線形補間は、放物面型双曲面の1つの則線族に関して線対称となる3次円運動を生成する。
• 運動がシリンダーグループに属するのは、かつてその背後に存在する放物面型双曲面が直交する、すなわちパラメータaとbがa = ±bを満たすとき、かつそのときに限り成り立つ。
• 3次円運動の伝達曲線はスケーリングおよびシフトされた正接関数であり、回転角と移動距離との間の直接的な関係を示している。
• 3次円運動における点の軌道は、正確に1つの無限遠点を持つ3次有理曲線であり、その点の方向への正射影は円である。
• 拡張された双クォータニオンモデルを用いた線形補間により、垂直ダーブルックス運動が得られ、これは有理的で2つの入力姿勢によって定義されるシリンダーグループ内に位置する。
• 拡張された運動マップµ[m]により、CAD曲線構成（例：ベジエ曲線）を運動設計に伝搬可能となり、剛体運動にde Casteljauおよびde Boorアルゴリズムを適用可能になる。