[論文レビュー] From almost sure local regularity to almost sure Hausdorff dimension for Gaussian fields

Érick Herbin, Benjamin Arras+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非定常増分を示すガウス型確率場において、局所的ホルダー正則性とグローバルなハウスドルフ次元との間の関係を確立する。確定的局所下指数を導入し、プロセスの増分分散を活用することで、ほとんど確実に、任意の点の近傍におけるグラフおよびレンジのハウスドルフ次元が、その点における局所的ホルダー指数によって決定されることを証明する。これはアドラーの結果を非定常設定に拡張し、多分数ブラウン運動および一般化されたワイエルシュトラス関数に適用する。

ABSTRACT

Fine regularity of stochastic processes is usually measured in a local way by local H\\"older exponents and in a global way by fractal dimensions. Following a previous work of Adler, we connect these two concepts for multiparameter Gaussian random fields. More precisely, we prove that almost surely the Hausdorff dimensions of the range and the graph in any ball $B(t_0,\ ho)$ are bounded from above using the local H\\"older exponent at $t_0$. We define the deterministic local sub-exponent of Gaussian processes, which allows to obtain an almost sure lower bound for these dimensions. Moreover, the Hausdorff dimensions of the sample path on an open interval are controlled almost surely by the minimum of the local exponents. Then, we apply these generic results to the cases of the multiparameter fractional Brownian motion, the multifractional Brownian motion whose regularity function $H$ is irregular and the generalized Weierstrass function, whose Hausdorff dimensions were unknown so far.

研究の動機と目的

• ガウス型場のハウスドルフ次元に関するアドラーの結果を、定常でない増分過程へと拡張すること。
• 多パラメータガウス型場に対して、局所的ホルダー正則性とグローバルなフラクタル次元との一般的関係を確立すること。
• 確定的局所下指数を定義し、それを用いてグラフおよびレンジのハウスドルフ次元のほとんど確実な上界・下界を導出すること。
• 多分数ブラウン運動や一般化されたワイエルシュトラス関数のような具体的な過程に、この枠組みを適用すること。
• 正則性関数が不規則な一般化されたワイエルシュトラス関数の標本パスのハウスドルフ次元が未解決であった問題を解消すること。

提案手法

• 非定常ガウス型場における局所的正則性を定量化するため、確定的局所下指数および局所的ホルダー指数を導入する。
• 増分分散 $\mathbf{E}[|X_u - X_v|^2]$ を用いて局所的ホルダー挙動を特徴づけ、ハウスドルフ次元の上限・下限を導出する。
• 有限増分定理を用いて、$H$ がホルダー連続であるときの $\lambda^{-jH(u)}$ 項の差を制御する。
• 特に $H$ が $\beta$-ホルダー連続である場合に、ハースト関数 $H(t)$ の正則性を用いて分散の上限・下限を確立する。
• 多パラメータ分数ブラウン運動および一般化されたワイエルシュトラス関数に対して、必要な分散スケーリング条件を満たすかを検証し、結果を適用する。
• 局所的正則性とフラクタル次元の関係を応用し、点の周囲の収縮する球におけるハウスドルフ次元のほとんど確実な極限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス型場のグラフおよびレンジのハウスドルフ次元を、点における局所的ホルダー正則性のみを用いて、ほとんど確実に上界・下限で抑えられるか。
• RQ2 点における局所的ホルダー指数は、収縮する近傍におけるグラフおよびレンジのハウスドルフ次元の漸近的挙動とどのように関係するか。
• RQ3 正則性関数 $H$ が不規則な一般化されたワイエルシュトラス関数のグラフおよびレンジのほとんど確実なハウスドルフ次元は何か。
• RQ4 確定的局所下指数が、グラフおよびレンジのハウスドルフ次元のほとんど確実な鋭い下限を提供できるか。
• RQ5 区間上の局所的ホルダー指数の最小値が、標本パスのグローバルなハウスドルフ次元を制御するか。

主な発見

• 任意の $t_0 \in \mathbf{R}_+^N$ に対して、$H$ が $\beta$-ホルダー連続である一般化されたワイエルシュトラス関数 $X$ に対して、球 $B(t_0, \rho)$ 内の $X$ のグラフのほとんど確実な局所的ハウスドルフ次元は、$\rho \to 0$ のとき $2 - H(t_0)$ に収束する。
• 任意の $t_0$ の近傍における $X$ のレンジのハウスドルフ次元は、$H(t_0)$ にかかわらず、ほとんど確実に 1 に等しい。これはレンジが一様次元であるためである。
• 一般化されたワイエルシュトラス関数の局所的ホルダー指数および下指数は、ほとんど確実に $\widetilde{\bbalpha}_X(t_0) = \underline{\bbalpha}_X(t_0) = H(t_0)$ を満たす。
• 正則性関数 $H(t)$ が不規則な多分数ブラウン運動に対して、局所的正則性は $H(t_0)$ によって決定され、$t_0$ の周囲の収縮する球内でのグラフのハウスドルフ次元は、ほとんど確実に $2 - H(t_0)$ に収束する。
• グローバルな指数 $\alpha$ を局所的下指数に置き換えることで、アドラーの定理を非定常増分ガウス型場へ一般化する。この局所的下指数は増分分散から導出される。
• 正則性関数 $H$ が不規則な一般化されたワイエルシュトラス関数の標本パスのハウスドルフ次元を解消する。局所的にはほとんど確実に $2 - H(t_0)$、レンジについては 1 であることが示された。