[論文レビュー] From Approximate Factorization to Root Isolation with Application to Cylindrical Algebraic Decomposition

Kurt Mehlhorn, Michael Sagraloff+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、異なる根の数が既知であり、係数を任意の精度に近似可能であるという仮定の下、重複根をもつ一変数複素多項式の根の分離アルゴリズムを提示する。近似因数分解（特にPanのアルゴリズム）を活用することで、半径が 2^{-\kappa} より小さい領域内の根を分離する際のビット複雑性が \tilde{O}(d^3 + d^2\tau + d\kappa) に抑えられ、実平面代数的曲線の位相計算や2変数系の解法といった円筒代数的分解タスクにおけるランダム化複雑性の上限を顕著に改善する。

ABSTRACT

We present an algorithm for isolating the roots of an arbitrary complex polynomial $p$ that also works for polynomials with multiple roots provided that the number $k$ of distinct roots is given as part of the input. It outputs $k$ pairwise disjoint disks each containing one of the distinct roots of $p$, and its multiplicity. The algorithm uses approximate factorization as a subroutine. In addition, we apply the new root isolation algorithm to a recent algorithm for computing the topology of a real planar algebraic curve specified as the zero set of a bivariate integer polynomial and for isolating the real solutions of a bivariate polynomial system. For input polynomials of degree $n$ and bitsize $τ$, we improve the currently best running time from $ O(n^{9}τ+n^{8}τ^{2})$ (deterministic) to $ O(n^{6}+n^{5}τ)$ (randomized) for topology computation and from $ O(n^{8}+n^{7}τ)$ (deterministic) to $ O(n^{6}+n^{5}τ)$ (randomized) for solving bivariate systems.

研究の動機と目的

• 異なる根の数が既知である一変数複素多項式における重複根を扱える根分離アルゴリズムの開発を目的とする。
• 多項式係数の任意精度近似を提供するオラクルを用いても利用可能な環境を実現することを目的とする。
• 計算代数幾何学における根分離および関連問題のビット複雑性を低減することを目的とし、特に円筒代数的分解の観点から考える。
• 実平面代数的曲線の位相計算や2変数多項式系の解法において、最新の複雑性上限を改善することを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは近似因数分解をサブルーチンとして用い、有理数近似を任意精度で返すオラクルによって係数が供給される。
• 各根が正確な重複度をもって含まれる互いに交差しない円板を計算することで根を分離する。
• 各分離円板の半径は \sigma_i / (64n) 以下である。ここで \sigma_i は根 i と他の根との間の分離距離である。
• 根の幾何的配置に基づいて精度要件を適応的に調整し、臨界ファイバーにわたるアモアタイゼーションを活用する。
• 結果多項式の精密分析を適用し、根の分離距離および係数の大きさに依存する複雑性上限を用いる。
• Panのアルゴリズムによる近似因数分解と組み合わせることで、根分離およびその下流応用において近似的に最適なビット複雑性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる根の数が既知であり、係数がオラクルによって任意精度で入手可能な場合、重複根を効率的に処理できる根分離アルゴリズムは存在するか？
• RQ2 任意精度の係数アクセスが可能な一変数多項式のすべての根を分離する際の最適なビット複雑性は何か？
• RQ3 根分離は、曲線位相計算や2変数系の解法といった高レベルの幾何計算において、どのようにして複雑性を低減できるか？
• RQ4 根の分離に基づく適応的精度要件は、代数的アルゴリズムにおける全体の複雑性上限をどの程度改善できるか？
• RQ5 適応的根分離法を用いることで、円筒代数的分解タスクの複雑性は顕著に低減可能か？

主な発見

• 整数係数のビットサイズが \tau である一変数多項式のすべての根を、半径が 2^{-\kappa} より小さい領域に分離する際、\tilde{O}(d^3 + d^2\tau + d\kappa) のビット演算で処理可能である。
• 次数 d およびビットサイズ \tau の多項式に対して、本手法は \tilde{O}(d^3 + d^2\tau) の複雑性で根分離を達成し、既知の最良の境界に一致する。
• 実平面代数的曲線の位相計算に適用した場合、複雑性は決定的ケースの \tilde{O}(n^9\tau + n^8\tau^2) からランダム化ケースの \tilde{O}(n^6 + n^5\tau) に改善された。
• 2変数多項式系の解法に適用した場合、複雑性は決定的ケースの \tilde{O}(n^8 + n^7\tau) からランダム化ケースの \tilde{O}(n^6 + n^5\tau) に改善された。
• 改善は、根の分離と幾何的配置に応じて精度要件が適応的に変化する点に起因し、強力なアモアタイゼーション効果をもたらす。
• 本手法は、代数的幾何アルゴリズムにおいて、最悪ケースの境界を上回る顕著な改善を、適応的複雑性解析によって達成できることを示している。