[論文レビュー] From Black-Scholes and Dupire formulae to last passage times of local martingales. Part A : The infinite time horizon

Amel Bentata, Marc Yor|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 45被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ブラック・ショールズモデルにおけるオプションプライシングと正の局所マルティンゲールの最後の通過時刻との間に深い関係を確立し、オプション価格が特定のレベルに最後に到達する時刻に関連する確率として解釈できることを示している。主な貢献は、ブラック・ショールズ価格の正の部分の期待値と最後の通過時刻の分布を結ぶ恒等式を一般化し、連続的な一般局所マルティンゲールにまで拡張し、時間変換されたブラウン運動を介してアザ・スーパー martingale およびデュピルの公式と結びつけることにある。

ABSTRACT

These notes are the first half of the contents of the course given by the second author at the Bachelier Seminar (February 8-15-22 2008) at IHP. They also correspond to topics studied by the first author for her Ph.D.thesis.

研究の動機と目的

• ブラック・ショールズモデルにおけるオプション価格の確率的解釈を、確率過程の最後の通過時刻に関連する確率として理解すること。
• ブラック・ショールズ価格の正の部分の期待値と最後の通過時刻の分布の間の恒等式を、一般連続局所マルティンゲールにまで一般化すること。
• 正の局所マルティンゲールの最後の通過時刻の分布を、アザ・スーパー martingale およびフィルトレーションの拡大理論と結びつけること。
• マルティンゲールがほとんど確実にゼロに収束しない場合に、条件付き確率 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ の表現を拡張すること。
• 最後の通過時刻と局所時間の観点から、ブラック・ショールズの公式および関連公式を統一すること。

提案手法

• 連続的局所マルティンゲールの正の部分の期待値とそのレベル K における最後の通過時刻の分布を結ぶ一般恒等式を導出する。
• 時間変換されたブラウン運動とドゥーブの最大値恒等式を用いて、オプション価格と最後の通過時刻との間の関係を確立する。
• 進行的フィルトレーション拡大の理論を適用し、G_K の前後における過程を分析する。
• M_∞ ≠ 0 の場合に、恒等式 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ を一般化し、E[1_{G_K ≤ t} (K - M_∞)+ | F_t] = (K - M_t)+ を導出する。
• 局所マルティンゲール M_t を用いた測度変換技術を用い、問題を時間変換されたブラウン運動の枠組みに変換する。
• 一様可積分マルティンゲールの理論とオプションサンプリング定理を用いて、主要な恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラック・ショールズの公式は、基礎資産価格の最後の通過時刻に関連する確率分布として解釈可能か？
• RQ2 一般連続的正の局所マルティンゲールがゼロに収束する場合、最後の通過時刻 G_K の分布はどのように振る舞うか？
• RQ3 進行的フィルトレーション拡大の文脈において、最後の通過時刻 G_K とアザ・スーパー martingale の関係は何か？
• RQ4 マルティンゲールがゼロに収束しない場合、恒等式 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ はどのように一般化できるか？
• RQ5 オプションプライシングと最後の通過時刻との関係を、ストライク価格の積分を含むグローバル枠組みにまで拡張できるか？

主な発見

• 標準ブラウン運動 B_t に対して、E_t = exp(B_t - t/2) とおくと、E[(E_t - 1)+] = P(4N² ≤ t) が成り立ち、これは任意のゼロに収束する連続的正の局所マルティンゲール M_t に一般化される。
• 一様消失型diffusion過程に対して、最後の通過時刻 G_K = sup{t : M_t = K} の分布が明示的に計算され、ピットマンとヨール（1981）の結果が回復される。
• M_∞ ≠ 0 の場合、恒等式 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ が E[1_{G_K ≤ t} (K - M_∞)+ | F_t] = (K - M_t)+ に一般化される。
• 最後の通過時刻 G_K はアザの確率的時刻の特別な場合であり、関連するスーパー martingale はアザのスーパー martingale の特別なケースであることが示される。
• ストライク K について恒等式を統合することで、ブラック・ショールズの公式と局所時間とのグローバルな関係が確立され、イトウの公式がタナカの公式から導出されるのと類似した構造となる。
• 最後の通過時刻 G_K の分布の表現は、マルティンゲールの局所時間の逆関数によって与えられる時間変換されたブラウン運動の枠組みを用いて導出される。