[論文レビュー] From chaos to order through mixing

Dmitriy Dmitrishin, Ivan Skrinnik+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

Chaos control and synchronization参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形離散系における事前に未知の不安定な周期軌道を安定化するため、過去の状態またはその関数を混合する新しい混沌制御法を提案する。内部混合における遅延状態の凸結合と外部混合における重み付き関数出力の組み合わせを導入することにより、遅延フィードバック制御（DFC）を一般化し、任意の周期長の周期軌道の局所的安定化を可能にするとともに、吸引域を拡大し、収束速度を向上させる。

ABSTRACT

In this article we consider the possibility of controlling the dynamics of nonlinear discrete systems. A new method of control is by mixing states of the system (or the functions of these states) calculated on previous steps. This approach allows us to locally stabilize a priori unknown cycles of a given length. As a special case, we have a cycle stabilization using nonlinear feedback. Several examples are considered.

研究の動機と目的

• 事前に未知の不安定な周期軌道を有する混沌的非線形離散系において、それらを安定化する課題に対処すること。
• 状態混合を組み込むことで、従来の遅延フィードバック制御（DFC）手法を一般化し、より高いロバスト性と柔軟性を有する制御フレームワークを構築すること。
• 過去状態および関数値の凸結合を用いて、任意の周期長Tの周期軌道の局所的安定化を可能にすること。
• 混合プロセスにおける戦略的パラメータ選択を通じて、安定化された周期軌道の吸引域を拡大すること。
• 最初の段階（内部）混合による関数評価の繰り返しを回避することで、計算負荷を低減し、実装の容易さを高めること。

提案手法

• 制御則は過去状態の凸結合を用いる：$ x_{n+1} = \sum_{j=1}^{M} \gamma_j f\left( \sum_{i=1}^{N} \alpha_{ij} x_{n-iT+T} \right) $、ここで $ \gamma_j, \alpha_{ij} \geq 0 $、$ \sum \gamma_j = 1 $、および $ \sum \alpha_{ij} = 1 $。
• 内部混合は、$ x_{n}, x_{n-T}, \dots, x_{n-(N-1)T} $ の過去状態を係数 $ \alpha_{ij} $ を用いて結合し、記憶に基づく状態平均化を可能にする。
• 外部混合は、混合状態の関数出力 $ f(\cdot) $ を重み $ \gamma_j $ で結合し、システムダイナミクスの重み付き平均を形成する。
• T周期のまわりでの線形化により、ヤコビ行列の積と多項式 $ p(\lambda^{-1}) $ を含む特性方程式が得られ、固有値を用いた安定性解析が可能になる。
• 複数の遅延および混合パラメータを許容することで、非線形フィードバックを可能とするため、DFCを一般化し、設計の柔軟性を向上させる。
• 第一近似定理を用いた安定性解析では、周期周辺の微小な摂動を仮定し、ブロック行列の固有値問題に帰着する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 過去のシステム状態の混合に基づく制御戦略は、非線形離散系における事前に未知の不安定な周期軌道を安定化できるか？
• RQ2 過去状態および関数値の混合は、標準的な遅延フィードバック制御と比較して、周期軌道の安定性および吸引域にどのように影響を与えるか？
• RQ3 混合パラメータ（重み $ \alpha_{ij}, \gamma_j $）をどれほど調整できるかが、周期安定化における収束速度およびロバスト性の向上にどの程度寄与するか？
• RQ4 内部混合（状態レベルの混合）は、完全な遅延フィードバック制御と比較して、安定性を損なわず計算コストを低減できるか？
• RQ5 本手法は、Wolfram Codeルールを用いたセルオートマトンのような複雑系に応用可能か、その例として示されているか？

主な発見

• 提案された混合ベースの制御法は、$ T=4 $、$ N=10 $、および特定の係数セットを用いた数値シミュレーションにより、12周期系における複数の局所安定4周期を効果的に安定化した。
• $ T=5 $ の場合、異なる初期条件から4つの異なる5周期が同定され、それぞれが元の系で15周期を生成する。これにより、未知の周期軌道の安定化が可能であることが確認された。
• 標準的なDFCと比較して、安定化された周期軌道の吸引域が拡大されていることが、$ x_0 = 0.99, 0.64, 0.5, 0.74, 0.21 $ といった多様な初期値からの収束事例によって裏付けられた。
• 内部混合により、関数 $ f $ の繰り返し評価を回避するため、計算コストが顕著に低減された。混合状態のみを $ f $ に渡すため、すべての遅延値を評価する必要がなくなる。
• DFCを一般化し、混合パラメータの調整により収束速度を向上させることができたが、必要な遅延長 $ T $ は変化しないままであった。
• セルオートマトンへの応用が可能であることが示された。Wolfram Codeルールを時間的・空間的平均化と内部・外部混合を用いて再定式化し、周期的または定常的状態の検出が可能になった。